15)Использование непрерывности ф-ции для вычисления пределов.

Предел сложной ф-ции.

Пр:

при noo lim (1+x/n)^n=e^x

при b0 lim = =lim =

= =

при xx0, где x0 предельная точка Х в которой U(x) и V(x) имеют пределы а и b

U(x)^V(x)=e^(V(x)lnU(x)) т.к ф-ции имеют предел то в силу непрерывности логарифмической и показательной ф-ции lim U(x)^V(x)=a^b

Пусть lim V(x)ln U(x)=c тогда lim U(x)^V(x)=e^c

Если с=-00 то предел равен 0

Если с=+00 то предел равен оо

Если а=1 в=+/- oo тогда 1^oo будет сводится ко второму замечательному пределу.

8)Бесконечно малые и бесконечно большие ф-ции.

то данная функция является бесконечно малой в окрестности точки а.

то данная функция является бесконечно большой в окрестности точки а.

Теорема: алгеброическая сумма двух, трех или определенного числа БМ есть ф-ция БМ

Док-во:

Теорема: произведением БМ функций на множестве x ограниченную в окрестности точки а, если БМ.

Опр: Ф-ция называется ограниченной в данной области аргумента х, если существ такое М положительное,(б>0), что для всех х, принадлежащей области(|x-a|<б), будет выполнятся нер-во |f(x)|<=M. Если же такого М не сущ, то функцию называют неограниченной.

Док-во:

Опр: Пусть А и В БМ, если В/А а с ним и А/В имеет конечный и отличный от 0 предел то БМ А и В считаются величинами одного порядка при x a

Опр: если B/A яв-ся БМ, а А/В ББ при xa , то И считается высшего порядка чем А

Опр: БМ В называется БМ-ым К-ого порядка, где К N, относительно БМ А, если БМ Б и А бесконечно малые одного порядка, т.е при xa A(x)/B(x)=K

Опр: если отношение двух БМ В/А стремятся к 1, то А и В называют эквивалентными БМ при xa .

Опр: если при xa F(x)=oo, G(x)=oo, то эти ф-ции имеют один и тот же порядок

(т.е. ф-ции асимптотичнопропорциональны) при xa F(x)/G(x)=K.

если же F(x)/G(x)=1 то говорят что ф-ции асимптотически равные.

14)Односторонняя непрерывность, классификация разрыва ф-ции.

Опр: ф-ция y=f(x) непрерывна в точке x0 слева(справа) если выполняется следующее соотношение: при xx0-0 lim f(x)=f(x0) , при xx0+0 lim f(x)=f(x0)

Если одно из указанных равенств не выполняется то ф-ция в точке х0 терпит разрыв.

Замечание: если точка х0 яв-ся левым или правым концом промежутка Х в котором она определена, то в этом случае можно говорить о разрыве слева (справа).

Замечание: если точка х0 внутренняя точка промежутка Х, то чтобы ф-ция была непрерывной, необходимо чтобы существовали пределы слева и справа и чтобы они были равны.

Опр: точкой разрыва первого рода ф-ции y=f(x) называется такая точка х0 в которой ф-ция имеет левый и правый конечные пределы, но они не равны между собой.

т.е. при xx0-0 f(x)=A, при xx0-0 f(x)=В,A B

Величина |A-B| называется скачком ф-ции в точке х0.

Либо если предел справа равен пределу слева, но не равны в х0, либо в х0 ф-ция не определена. (в замечании ниже)

Опр: точкой разрыва второго рода яв-ся точки бесконечного разрыва и точки в которых не существует предела либо с лева либо справа.

Пр: y=sin(1/x),x Lim sin(1/x) при x0 не существует

1/Xn=Пn Xn=1/Пn sinПn=0 noo Xn0

1/Xm=П/2+2Пm Xm=1/(П/2+2Пm) sin(1/Xm)=1 moo Xm0

Пр: при x+0 lim arctg(1/x)=П/2 при x-0 lim arctg(1/x)=-П/2

Замечание: если любой последовательности х1,х2…хn стремящейся к х0 и принадлежащей множеству Х отвечает сходящая последовательность f(x1),f(x2)…f(xn) стремящейся к А то ф-ция y=f(x) при xх0 имеет своим пределом число А.

т.е. при хx0 lim f(x)=A

Замечание: если ф-ция y=f(x) в точке х0 неопределенна но ее левый и правый пределы существуют и равны, то в этом случая ф—ция имеет устранимый разрыв, первого рода, тогда полагают что значение ф-ции в этой точке х0 равным значению предела, и получим новую ф-цию которая определена во всех точках.

Пр: у=sin(x)/х х , но при х0 lim sin(x)/x=1