4.2.2 Приклади розв’язання задач

Приклад 1: Аналіз максимізації корисності

Визначте, яку кількість блага х має спожити індивід, щоб повністю задовольнити свою потребу, якщо функція сукупної корисності індивіда від споживання цього блага має вид:

TU_x = 10 + 8x - x².

Розв’язок

Повне задоволення потреби передбачає максимізацію сукупної корисності, що досягається у разі, коли гранична корисність дорівнює 0.

1. Знайдемо граничну корисність блага х:

MU_x = dTU_x/dx = (TU_x)’

MU_x = (10 + 8x – x²)’ = 8 – 2x

2. Знайдемо кількість блага х, споживання якої забезпечує максимізацію сукупної корисності:

MU_x = 0

8 – 2x = 0

x = 4 _од.

Приклад 2: Аналіз граничної корисності

Визначте граничну корисність і ціни, за якими споживач купує каву і тістечка, якщо гранична корисність грошей дорівнює 5, а функція сукупної корисності за умов рівноваги споживача має вигляд: TU_xу = 3х + 5у, де х і у – кількість спожитої кави і тістечок.

Розв’язок

1) Знайдемо граничну корисність кави і тістечок, як похідну від сукупної корисності:

MU_x = dTU_x/dx; MU_у = dTU_у/dу

MU_x = (3х)’ = 3; MU_у = (5у)’ =5

2) Для обчислення цін скористаємося другим законом Госсена, згідно до якого в умовах рівноваги споживача:

Відповідно:

Р_х =

Р_у =

Відповідь: гранична корисність кави 3, тістечок 5, ціна кави 60 коп., тістечка – 1 грн.

Приклад 3: Визначення оптимального вибору споживача

Сім’я, що поводиться раціонально, витрачає щотижня на ковбасу і ьатони для сніданків 40 грн. Ціна ковбаси дорівнює 20 грн., а батонів – 1 грн. За шт. Визначте, скільки ковбаси і батонів купує сім’я на тиждень, якщо функцію TU_x = 100х – 100х², батонів TU_у = 20у – 1,5у², де х і у – відповідно кількість ковбаси у кг і батонів в штуках.

Розв’язок

Правило оптимального споживчого вибору за умов обмеженого бюджету передбачає рівність зважених по ціні граничних корисностей усіх куплених у межах заданого бюджету благ, тобто стосовно нашої задачі:

Р_х х + Р_у у = І (тижневий бюджет на ці товари)

1) Знайдемо граничні корисності ковбаси (х) і батонів (у) як похідні від їх сукупної корисності:

MU_x = dTU_x/dx = (TU_x)’

MU_x = (100х – 100x²)’ = 100 – 200x

MU_у = (20 – 1,5у²)’ = 20 – 3у

2) Складемо систему рівнянь, що визначають рівновагу даного споживача і розв’язавши її визначимо обсяг купівлі двох заданих умовою задачі товарів – ковбаси і хліба на тиждень:

5 – 10х = 20 – 3(40 – 20х)

5 – 10х = 20 – 120 + 60х

70х = 105

х =1,5 (кг ковбаси)

5 – 10(1,5) = 20 – 3у

3у = 30

у = 10 (шт. батонів)

3) Зробимо перевірку, чи вистачить наявного бюджету сім’ї на купівлю ковбаси і хліба у визначеному обсязі:

40 = 1,5 20 + 1 10

40 = 40

Відповідь: За умов оптимального виробу сім’я купує на тиждень 1,5 кг ковбаси і 10 батонів.

Приклад 4: Використання правила часток

Пенсіонер, що поводиться раціанально, щороку витрачає на хліб і молоко 200 грн. Ціна молока – 2 грн. За 1 л, хліба – 1 грн. За 1 кг. Функція сукупної корисності пенсіонера від споживання цих товарів має вигляд: TU_xу = х^1/4 у^1/2, де х і у відповідно кількість спожитого молока і хліба.

Визначте, як зміниться оптимальний вибір даного споживача, якщо збільшення пенсії дозволило йому витрачати на хліб і молоко 300 грн., ціна хліба не змінилася, а молоко подорожчало вдвічі.

Розв’язок

Задача розв’язується із використанням правила часток, згідно до якого, якщо функція сукупної корисності задана рівнянням: TU_xу = х^a у^b, то оптимальний обсяг споживання кожного блага за даного бюджетного обмеження і визначеного рівня цін знаходиться за формулами:

1) Знайдемо за вказаним правилом обсяги споживання хліба і молока за початковим бюджетом і цінами:

2) Знайдемо скільки хліба і молока купує пенсіонер після підвищення пенсії і за нового співвідношення цін:

Висновок: збільшення бюджета споживача в умовах зростання ціни одного з товарів веде до збільшення споживання дешевшего товару і скорочення споживання того товару, ціна на який зросла. Обсяг споживання молока зменшився на 8,3 л, хліба – зріс на 67 кг.

Приклад 6: Аналіз максимізації корисності

Визначте яку кількість блага Х має спожити індивід, щоб повністю задовольнити свою потребу, якщо функція сукупної корисності індивіда від споживання цього блага має вид:

ТUx = 10 + 8x – x²

Розв'язок

Повне задоволення потреби передбачає максимізацію сукупної корисності, що досягається у разі, коли гранична корисність дорівнює 0.

1) Знайдемо граничну корисність блага х:

MUx = dTUx / dx = (TUx)´

MUx = 10 + 8x – x²

2) Знайдемо кількість блага х, споживання якої забезпечує максимізацію сукупної корисності:

MUx = 0

8 – 2x = 0

x = 4 од.

Приклад 7: Аналіз граничної корисності

Визначте граничну корисність і ціни за якими споживач купує каву і тістечка, якщо гранична корисність грошей дорівнює 5, а функція сукупної корисності за умов рівноваги має вигляд: ТUxy = 3x + 5y, де x і y – кількість спожитої кави і тістечок.

Розв'язок

1) Знайдемо граничну корисність кави і тістечок, як похідну від сукупної корисності:

MUx = dTUx / dx; MUy = dTUy / dy

MUx = (3x)´ = 3; MUy = (5y)´ = 5

2) Для обчислення цін скористаємось другим законом Госсена, згідно до якого в умовах рівноваги споживача:

MUx / Px = MUy / Py = λ

Відповідно:

Px = MUx / λ = 3 / 5 = 0,6 (грн.)

Py = MUy / λ = 5 / 5 =1 (грн.)

Відповідь: гранична корисність кави 3, тістечок 5, ціна кави 60 коп, тістечка – 1грн.

Приклад 8: Визначення оптимального вибору споживача

Сім’я, що поводиться раціонально, витрачає щотижня на ковбасу і батони для сніданків 40 грн. Ціна ковбаси дорівнює 20 грн. за кг, а батонів – 1 грн. за шт.. Визначте, скільки ковбаси і батонів купує сім’я на тиждень, якщо для неї сукупна корисність ковбаси має функцію TUy = 20y – 1,5y², а батонів TUx = 100x – 100x²,де х і у – відповідно кількість ковбаси у кг і батонів в штуках.

Розв'язок

Правило оптимального споживчого вибору за умов обмеженого бюджету передбачає рівність зважених по ціні граничних корисностей цих куплених у межах заданого бюджету благ, тобто стосовно нашої задачі:

MUx(ковбаси) / Px(ковбаси) = MUy(батонів) / Py(батонів)

Px × x + Py × y = I (тижневий бюджет на ці товари)

1. Знайдемо граничні корисності ковбаси (х) і батонів (у) як похідні від їх сукупної корисності:

MUx = dTUx / dx = (TUx)´

MUx = (100x – 100x²)´ = 100 – 200x

MUy = (20y – 1,5y²)´ = 20 – 3y

2. С кладемо систему рівнянь, що визначають рівновагу даного споживача і розв’язавши її визначимо, обсяг купівлі двох заданих умовою задачі товарів – ковбаси і хліба на тиждень:

MUx / Px = MUy / Py

Px × x + Py ×y = I

(100 – 200х) / 20 = (20 – 3у) / 1

20х + 1у = 40

5 – 10х = 20 – 3у

1у = 40 – 20х

5 – 10х = 20 – 3(40 – 20х)

5 – 10х = 20 – 120 + 60х

70х = 105

х = 1,5 (кг) ковбаси

5 – 10(1,5) = 20 – 3у

3у = 30

у = 10 (штук) батонів

3. Зробимо перевірку, чи вистачить наявного бюджету сім’ї на купівлю ковбаси і хліба у визначеному обсязі:

40 = 1,5 ×20 + 1 × 10

40 = 40

Відповідь: За умов оптимального вибору сім'я купує на тиждень 1,5 кг ковбаси і 10 батонів.

Приклад 9: Використання правила часток

Пенсіонер, що поводиться раціонально, щороку витрачає на хліб і молоко 200 грн. Ціна молока 2 грн за 1л, хліба 1 грн за 1 кг. Функція сукупної корисності пенсіонера від споживання цих товарів має вид: TUxy = x¼ × y½, де х і у відповідно кількість спожитого молока і хліба.

Визначте, як зміниться оптимальний вибір даного споживача, якщо збільшення пенсії дозволило йому витрачати на хліб і молоко 300 грн ціна хліба не змінилася, а молоко подорожчало вдвічі.