Книги / Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

62

ПРЕДЕЛ.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Ф'УНIЩИА

1rл.

11

25. 27.

lim	'v-"x-'v-"a
	....___..__
ill-+a		х-а
« ~~		У-хi=э		,
	00	Vх8+	1

•

Отв. Отв. 1.

'v-"a --

та 28.

•

26. «~Ш..

lim	У
х ... о
vx	+1
2
х+
	1

1+x+x	-t		1
2		• Отв.	2	.
х
, Отв, 1	при х-+со,

-1 зо. 31. 34. 36.

при	х--оо.	29.		lim	(ух	+ 1- Ух		-1).		Отв. О.
					2		2
llm	x(fx2 +1-x).	Отв.		Х ао			-оо		прих--оо.
			1	прих-+оо,
i/1 • 00			2

•	sin х								llm	sin 4х	Отв. 4.
lim	t - . Отв. 1. 32,									-- •
ill • O gx		, -----							Х О	Х
llm	х/У 1-cosx.							Отв.		у2.
« +О			-			cosv		•	Отв. уз.		37,
lfm		1			2
	:n;			(			:rt)
v •	""i"	sin			v -		3

	.	sin	2	(х/3)		t
33.	lim				2	• Отв. -	•
	Х О		Х			9
						Отв.	1,
35.	Jim	xctgx.
	х	О				Отв• .!,
llm(l-z)tg~.
Z •	l				2	:11

38.

lim

Х О

2

arcsin 3Х

х

•

Oтв.

2 -3

•

39

.

11m Х

О

sin

(a+x)-sin Х

(а-х)

.

0

тв,

2

.cos

а.

40.

.

tg x-sinx

Отв.

-

1

•

l1m

3

•

Х

О

Х

2

42.

lim

(

1 )х

.

Отв.

1

•

1--

-

х оо

х

е

44.

llm

1 )п+5

Отв.

е.

45.

( 1+-

w.

n •

oo

n

46.

Jim

(l+cosx) 3

secx,

Отв.

3

•

е

« • :n:/2

2х+з )x+J.

48.

(

Отв.

е.

х]~Ш..

2х+ 1

,

	41.	lim		( 1+.!.)х.			Отв.	1
								е •
		,Х • 00				Х
	43. xl~m..			(l~x у.			Отв.	~.
lim	{п [ln		(п+ 1)-ln п]}.				Отв.	1.
п • 00			!п (l+o.x)
		.
47.	1						Отв.	а.
		1m-:......;--'-,
	Х		О	Х
49.	lim		(1 +3 tg		2	x)ctg•		3
							х. Отв. е •
	Х	О

50.	lim	(cos -=-)т.		Отв. 1.		51.
	m • oo	т		.	sin
О при а-- оо.			52.			ах
				l1m	- inА		•
				Х-+0	S	t'X

	.	lп(l+ea)		. Отв. 1	при а-+оо,
l1m		--'--------
а-+оо		а
	а		llm	аХ-1	в.+oo
Отв.	т• 53,
				--(a>l),Om
	t'		Х со	Х

при х- -+оо,

о

при

х-- оо.

55.	.	ea,x-eflx	Отв. a-jl.
	lim	---- .
	«-о	х

54.

lim п[

a

1

/n -

1].

Отв.

ln а.

R •

00

56.

lim

еа.х-еРх

ll

. Отв.

1.

1n

1n

х

х ... os

ax-s

	Определить точки разрыва										~
										функций
	57.	g=		х		х-1	4	)	•	Отв.	Разрывы
						(х+ I) (х2_
58.	y=tg -		1		,	Отв.					Разрывы
		х
±	2			±		2
	3:rt:	... ;				(2n+I):rt

при	х=-2;
при	х=О

-1:	О;	2.
и		2
	х=±-;
		n

59. Найти

функции. Отв.

точки Разрыв

разрыва при .1е=0

функции <У-+

IJ= 1+2		1	/х и построить график		этой
оо при	х-++О, g-+ 1			п.ри х-- О).

4]

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

ФУНIЩИЙ

69

Следовательно,

f'

(х)

=

tg

а;,

(2)

т.

е.

значение

производной

f'

(х)

при

данном

значении

аргументах

равняется тангенсу угла,	образованного
функции f (х) в соответствующей		точке
ным направлением оси Ох.

касательной к графику
М	0	(х,	у)	с положитель­

в

Пр им ер. Найти

тангенсы

углов

наклона

касательной

к

кривой

у=х

2

точках М1

(1/2,

1/4);

М2 (-1,

1) (рис.

60).

Ре ш е н

и е.

На основании

nримера

1 § 2

имеем

у'= 2х;

СJ1едовательно,

tga1=Y' /x=I/2 = 1,

tg l:i2=Y' lx=-1

=-2.

§

4.

Дифференцируемость

функций

О

п

р

ед

е

л

е

н

и

е.

Если

функция y=f (х)

(1)

имеет

производную в	точке			х = х0,		т. е.	если	существует
lim	Лу	=		lim	f (х0	+Лх)-f (х0)			•
Лх О Лх			Лх О			Лх

(

2)

то

мы

говорим,

что

при

данном

значении

х

=

х

0

функция

диф­

ференцируема или (что равносильно Если функция дифференцируема в

этому) имеет производную. к аж до й точке некото­

рого отрезка [а, дифференцируема

Ь] на

или интервала отрезке [а, Ь]

(а,	Ь), то	говорят,
или	соответственно

что она винтер­

вале Т

(а, Ь). е орем

а.

Если

функция

у=

f

(х)

дифференцируема

в

неко­

торой точке х = х0	, то
Действительно,	если

она

в

этой

точке

непрерывна.

то

где

у

есть

величина,

lim	ЛЛу = f' (х0),
Л О	Х
~: = f' (хо)+У,
стремящаяся к нулю

при

Лх

-

0-.

Но

тогда

Лу

=

f'

(х0

)

Лх

+уЛх;

отсюда следует, что Лу-0 при	Лх---.0,	а
ция f (х) не~:~рерывна в точке х0	(см. §	9

это гл.

и значит, 11).

что

функ­

же

Таким образом, в то ч к ах
т иметь	производной.

р

аз рыв а Обратное

фу н к ц и я заключение

не	м о­
неверно,

т. е. из того,	что		в
непрерывна,	еще	не
цируема: функция			/

какой-нибудь точке	Х=Х0 функция		y=f(x)
следует, что в этой точке она		дифферен­
(х) может и не иметь	производной	в	точке х0•

70

ПРОИЗВОДНАЯ

И

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

[ГЛ.Ш

Для того меров.

чтобы

убедиться

в

этом,

рассмотрим

несколько

при•

Пр образом

им ер (рис.

1. 61):

Функция f (х)	определена на отрезке
f (х)=х		при	О..;;;х..;;; 1,
f (х) = 2х- 1		при	1 < х..;;; 2.

[О,

2]

следующим

Эта функция при Х= 1 Действительно, при Лх

не >

	имеет производной,
О	имеем

хотя

и

непрерывна

в

этой

точке.

lim лх о

f(l+Лx)-f(l) Лх

lim
лх	о

[2(l+Лx)-l]-[2•l-1J Лх

llm
лх	о

2Лх= Лх

2

•

при

Лх

<

О	получаем
	.	f(l+Лx)-f (1)	.
	}		1
	1m	------,--'---""'-'1m--
лх о		Лх	лх	о

[l+Лх]-1 Лх

Ilm	о
Лх

Лх -Л Х

=l,

Таким	образом, рассматриваемый предел
значит,	что в точке х= l функция не

зависит от того, каков
имеет	производной"').

знак Лх, а это Геометрически

0

Рис.

2

Gl.

:r;

Рис.

62.

этому соответствует тот факт, что	в	точке	Х= l	данная		«кривая»
определенной касательной.			= l следует
Непрерывность же функции в	точке х				из	того,	что
Лу=Лх п,ри Лх < О,		Лу=2Лх		при	Лх	> О,

не

имеет

и,

следовательно, Пр им ер 2.

в обоих случаях Лу-+ О при Лх-+

Функция у= Vx, график которой

О. изображен

на

рис.

62,

определена llим, имеет

и	непрерывна для всех значениii" независимой	переменной.
ли	эта функция производную при х=О; для	этого найдем

Выяс­ значе­

ния функции при х=О и при х=О+Лх; при х=О

имеем у+Лу= VЛх· Следовательно, Лу= }Тх.

имеем

у=О,

при

х=О+Лх

Найдем

предел

отношения

приращения

функции

к

приращению

аргумента:

lim	о
лх

л ЛУ х

=

lim лх

о

Vлх --.--,--Л х

=

lim	о
лх

v1-

v лха

=

+

QO,

*)

По

определению

производной

требуется,

чтобы

отношение

:: стре­

милось	при Лх-+
образом	стремится

О к

к одному нулю Лх.

и

тому

же

пределу

независимо

от

того,

каким