Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

11.	По определению, точка x0 называется				точкой разрыва		первого рода
	функции	f (x) , если ____________________________.
12.	Если функция		f (x)	бесконечно большая		при x → x0 , а	функция g(x)
	имеет конечный предел в точке x0 :				lim	g(x) =b (b ≠ 0) , то функция
	f (x) g(x)			x0 __________.	x→x0
		в	точке		Доказательство: _______________.

13.Последовательность

А. Ограниченной

14.	lim	3	n2 +1
	n→∞ ( n + 3 n)2
	1. 1		2. 0
15.	lim	x2	− x −12
	x→−3 x2 + 7x +12

{a	n	}∞		,	a	n	= ncos рn	является
		n=1
Б. Ограниченной сверху									В. Неограниченной.
									(Ответ обосновать).
			равен
					3. 1/2				4. 1/3	5. ∞

равен ________________________________.

16

1

2

lim

−

равен

x→−3 x2

−9 x2 − x −12

1. 0

2. -1

3. 3

4. ∞

5. 5.

17.

lim sin 2x ctg3x

равен ________________________________.

x→π

18.

lim

πx

−1

равен

x→0 ex −1

1. 1

2. 2

3.

π/e

4. ln π

5. eπ

1 −

2x −1

,

если

x ≠ 0,

19.

x

будет

непрерывной в

Функция f (x) =

если

x = 0,

A,

точке

x = 0

при

A,

равном ____________________________________.

1

20.

Для

функции

y = (2 + x) x

в точке

x = 0

односторонние

пределы

равны ____________ и ____________,

причем

точка

x =0 есть

точка

разрыва ___________________ рода.

( какого?)

99

36.

1.

Если общий член последовательности {an }∞n=1

определяется

формулой

an = f (n) , то

a15

равен ______________________________________.

2.

Если

последовательность

возрастает и не ограничена ,

то

ее

предел _____________________________________.

3.

Необходимое

и

достаточное условие сходимости последовательности

{an }∞n=1

( критерий

Коши )

формулируется

следующим

образом:_______________________________________.

4.

Если последовательность {an }∞n=1 бесконечно большая,

а {bn }∞n=1

сходится

к

числу

B ≠ 0 ,

то

последовательность

{an bn }∞n=1, (n=1,2,...)________________________________________.

5.

Если

последовательность

{βn }

бесконечно

малая

и

αn

≤

βn

,

(n=1,2,...), то последовательность {αn } __________________________.

6.

По определению, число A называется пределом слева функции

f (x)

в

точке

a

lim

f (x) = A , если ___________________________________.

x

→a −

0

7.

Если

функция

y = f(x)

представима

в

виде f(x) = A

+ α(x) ,

где α(x) - бесконечно

малая

функция

при

x → x0 , то

предел

функции

y = f(x) _______________________________________.

8.

По определению,

если

функция y = f(x)

непрерывна в точке

x0 , то

lim ∆y _______________________________________.

9.

x→x0

Вторым замечательным пределом называется ______________________.

10.

Обозначение

f (x) = O( g(x))

при

x → x0

означает, что _____________.

11.

Если существует

lim f (x) = A и функция f (x) непрерывна

в точке

α ,

x→α

то A равно _______________________________________.

100

12.

Если

функция

f (x) является

бесконечно

большой

при

x →∞, а

функция g(x)

имеет конечный предел

lim g(x) = B

причем g(x) ≠ 0 ,

x→∞

то функция

f (x)

______________________________________.

g(x)

Доказательство:__________________________________________.

13.

Последовательность

{a

n

}∞

,

где

a

n

= (−1)n n2 +1 ,

является

n=1

2n

1. Ограниченной

2. Неограниченной сверху

3.Неограниченной снизу

( Ответ обосновать).

14.

lim

n3 −1

равен

n→∞ n2 +1

1. 1

2. 0

3. 1,5

4.0,75

5. ∞ .

15.

lim

x2 −1

равен ______________________________________.

x→−1 x2 + 3x + 2

16.

x −3

+

1

lim

равен

x

−1

x→1 x2 −1

1. 1

2. 2

3. 3

4. -1

5. ∞ .

17.

lim

(x +π)2

равен ______________________________________.

1+cosx

x→−р

18.

lim

1 + tg x −1

равен

x→0

sin x

1. 0,5

2. 2

3. -0,5

4. 0

5. ∞.

19.

Функция

f (x)=

3

x (− π ,0) U(0, π),

(cosx) x

, если

2

2

если

x = 0,

A,

будет непрерывной в точке x = 0 при A, равном ____________________.

101

		−	1
	20. Для функции		x+1 в точке x = -1 односторонние пределы
		y = 2

равны __________________ и _________________, точка x = -1 является точкой разрыва _____________________ рода .

(какого?)

37.

1. Множество X называется ограниченным , если______________________.

2.

Если последовательность

{an }∞n=1

такова,

что

при любом

ε > 0

неравенство

an

> ε выполняется

лишь

для

конечного

числа

членов последовательности, то ___________________________.

3.

Если

элементы

последовательности {an }∞n=1

представимы

в

виде

an = A +αn

, (

n =1,2….), где

{αn }∞n=1

-

бесконечно

малая

последовательность, то предел последовательности

{αn }∞n=1 ___________.

4.

Даны

две

сходящиеся

последовательности:

lim a

n

= A, lim b

= B ,

причем

bn ≠ 0

( n =1,2K),

B ≠ 0 .

n→∞

n→∞ n

Тогда

предел

последовательности an ∞ ______________________________.

bn n=1

5. Дана сходящаяся последовательность an			→ A.	Если lim an = B , то
			n→∞	n→∞
1. A < B	2. A = B	3. A > B		4. A≤B или A > B.

6.Если функция y = f (x) определена на [a,b], а множеством ее значений является отрезок [c,d], то множеством значений обратной к ней функции

x= f −1 ( y) является ________________________________________.

7. По определению ( на языке ε −δ ), функция y = f (x) называется бесконечно малой в точке a, если _________________________________.

102

	8. Если функция y = f (x)	является бесконечно большой при x → x0 при
	f (x) ≠ 0 , то функция	y =	1	в точке x0 _____________________.
			f (x)

9.Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми при x → ∞, если ___________________________.

10.Если функция f (x) имеет предел при x → x0 и неограничена в любой окрестности точки x0 , то этот предел равен _____________________.

11.По определению, точка a называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если ________________________.

12.

Для существования

конечного

предела

lim f (x) = A

необходимо и

x→a

достаточно, чтобы в окрестности точки

a функция

f(x)= A + α(x) , где

α(x) - _________________. Доказательство:_____________________.

13.

Последовательность

{αn }∞n=1 ,

где

an = n +1 −

n −1 , является:

1. Возрастающая

2. Убывающая

3. Немонотонная.

(Ответ обосновать).

14.

lim

n3 −n +1

равен

4n3 +1 −

n

n→∞

1. 1

2. 0,5

3. 0,25

4. 0

5. ∞

15.

lim

x3 − 27

равен _______________________________________.

2 + x −12

x→3 x

16.

3

1

lim

−

равен

x

x→−1 x2 − x − 2

+1

1. 1

2. -2

3. -1/3

4. 0

5. ∞

103

17.	lim		cos x		равен _______________________________________.
			(x + π 2)	2
	x→−π 2
18.	lim ln(1 + tg x)				равен
	x→0	sin 2x
		1. 1			2. 0,5		3. -0,5	4. 0	5. ∞
						2	1
19.	Функция						( x), если	x ≠ 0,
					f (x) = arctg
							если	x = 0,
					A,

будет непрерывной в точке x = 0 при A, равном ___________________.

20.Для функции f (x) = 1x ln(1 + 2x) в точке x = 0 односторонние пределы равны ______________ и ______________, точка x = 0 является точкой разрыва ________________________рода.

(какого?)

38.

1.	Последовательность		{αn}∞n=1		называется			монотонной,
	если __________________________.
2.	По определению, запись lim an = +∞ означает, что___________________.
			n→∞
3.	Если последовательность {αn }∞n=1 убывает и ее точная							нижняя
	грань	inf an = A > −∞ то предел последовательности
	{αn}∞n=1 ________________.
4.	Даны	две	последовательности			{αn}∞n=1	и	{bn }∞n=1 , причем
	an = A + αn , bn = B +βn			( n = 1,2,...),		где αn	и	βn - бесконечно
	малые	последовательности.		Тогда	предел		последовательности
	{αn βn	} равен_________________________.

104

5.	Последовательность		{αn}∞n=1	монотонно возрастает,	а	{bn }∞n=1
	убывает, причем	an < bn	( n = 1,2,...) и lim (bn − an ) = 0		. Тогда по
				n→∞
	принципу вложенных отрезков ___________________________.
6.	По определению,	lim f (x) = ∞, если ____________________________.
		x→a

7. Если функция y = f(x) является бесконечно малой в точке x0 , а функция g(x) удовлетворяет неравенству g(x) ≤ f (x) в окрестности точки x0 ,

то функция g(x) является _______________________________.

8.	Если	функция		y = f(x)	убывает		на (a,b), причем		inf	f = C то
									(a,b)
	lim	f (x)	равен _______________________________.
	x→b−0
9.	Если существует конечный					предел	lim f (x) , а функция			y = α(x) -
	бесконечно		малая	при	x → x0 , то		x→x0		y = f (x) α(x)
							предел функции
	равен_______________________________.
10.	Если	существуют				равные	односторонние			пределы
	lim	f (x) =	lim	f (x) = A ,		то предел функции f(x)		в точке a равен:
	x→a−0		x→a+0
	1.Нулю			2. A		3. Бесконечности		4. Не существует.

11.По определению, точка разрываx0 функции f(x) называется устранимой,

если _______________________________.

12. Если положительная функция f(x) > 0 имеет предел		lim f (x) = A , то
		x→a
1. A > 0	2. A ≥0	3. A ≥ 0 или A < 0

Доказательство:_____________________________.

13.Последовательность

1.Ограниченная

{α	n	}∞	, где	a	n	= (−1)n n sin 1 , является:
		n=1					n
2. Неограниченная сверху							3. Неограниченная снизу
							( Ответ обосновать ).

105

14.	lim		2n +3						равен
			n2 +5n + 4
	n→∞
	1. 1					2. 2			3. 3	4. 0	5. ∞.
15.	lim	x2 − x − 2							равен ______________________________.
			x2 − 4
	x→2
			x2			2x3
16.	lim				−				равен
						4x2 −
	x→∞		2x −1				1

	1. 1	2. -0.5		3. 0	4. 0.25		5. ∞.
17.	lim arcsin x ctg 3x		равен _____________________________.
	x→0
18.	lim (sinx) tg2x		равен
	x→π	2
	1. 1		2. e2	3. e	4.	1	5.	1 .
						e		e

ln x2

19. Функция f (x) = x +1 ,

A,

будет непрерывной в точке

если	x ≠ −1,
если	x = −1,

x = -1 при A, равном___________________.

	20. Для функции y =		x		3	в точке x = 0 односторонние пределы
		sin x3

равны _______________ и ______________, точка x = 0 является точкой

разрыва ___________________________ рода. (какого?)

106

39.

1.

Последовательность

{αn }∞n=1

называется

убывающей,

если ______________________________.

2.

Если

последовательность

убывает

и

не

ограничена,

то

ее

предел ____________________________.

3. Если последовательность {αn }∞n=1 имеет

конечный

предел,

то

она

1. Ограничена снизу

2. Ограничена сверху

3. Ограничена

4. Не ограничена .

4.

Даны

две

сходящиеся

последовательности

{αn }∞n=1

и

{bn }∞n=1 :

lim a

n

= A , lim b

= 0 , причем

A ≠0,

b

≠ 0

(

n=1,2,...).

n→∞

n

→∞ n

n

∞

Тогда предел

последовательности

an

____________________________.

bn n=1

5.

Если

члены

последовательности

{αn}∞n=1

положительны

и

lim an = A ,

то

n→∞

1. A > 0

2. A ≥0

3. A ≥0 или A < 0 .

6.

По определению,

lim f (x) = A

, если ____________________________.

x→a

7.

Функция

y = f(x)

называется

бесконечно

большой

при x → a −0 ,

если _______________________________.

8.

Если

lim α(x) = 0

и

α(x) ≠ 0

при

x ≠x0 ,

то

предел

x→x0

1

функции

y =

в

точке x

________________________________.

α(x)

0

9. Первым замечательным пределом называется _______________________.

107

10. Если lim	f (x) = A и	для любой	последовательности
x→a	к a, xn ≠ a ,	предел lim	f (xn ) = B , то между
сходящейся
		n→∞

имеет место соотношение _____________________________.

{xn }∞= ,

n 1

A и B

11.

Если

функция

f(x)

непрерывна

на

отрезке

[ a,b ],

m = min f , M = max f ,

то

множеством

значений

функции f

[a,b]

[a,b]

является _________________________________.

12.

Для

того

чтобы

последовательность

{αn }∞n=1

сходилась

к

A

( lim an = A )

,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

n→∞

an = A + αn ,

где

αn :___________________.

Доказательство:_________________________.

13.

Последовательность

{αn }∞n=1 ,

где

an

= lg n −lg(n −1) ,

является

n

1. Ограниченной 2. Не ограниченной сверху

3. Не ограниченной снизу

(Ответ обосновать)

14.

lim

n4 −1

равен

n→∞ (2n +3)2

1. 1

2. 0,5

3. 0,25

4. 0

5. ∞.

15. lim ( 4n +1 − 2 n ) равен _______________________________.

n→∞

16.			4		−	3x +15			равен
	lim
			+1			x2
	x→−1 x						+5x + 4
	1. 1						2. 2		3. 1/3	4. -1/3	5. 0.
108