Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

8. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

1. y = e2x +1

А. 2 · e2x +1

1

Б. 2n · e2x +1

2. y =

x + 1

В. n! 2n · e2x +1

Г.

(-1)n n!

(x + 1)n +1

Д.

(-1)n n!

(x + 1)n

Е.

(-1)n +1(n + 1)!

(x + 1)n +1

Ответ

: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные y'

1. y = ln u(x)

А.

1

2. y = tg u(x)

u' (x)

Б.

u' (x)

u(x)

В.

–

u ' ( x)

u ( x)

Г.

u' (x)

cos2 u(x)

Д.

1

cos2 u' (x)

Е.

–

u' (x)

cos2 u(x)

Ответ: 1._______, 2._______ .

119

10.	Производная	функции	y = loga x	(a ≠1,a > 0) равна ____________.
	Доказательство ________________.
11.	Если y = 2x2 -1, x0 = 1,		∆x = 0,1	то	приращение ∆f	равно
	1. 0,22	2. -0,22	3. –0,42		4. 0,42	5. 0,18.

12. Если

y = 3· tg 2x – arcctg 3x,

то

y'

равна

1.

3

1

2.

6

3

-

-

cos2 2x

1 + 9x2

- cos2 2x

1 + 9x2

3.

3

+

3

4.

6

+

3

cos2 2x

1 + 9x2

cos2 2x

1 + 9x2

13. Если

y = 3- x

- log

2x, то y' равна ____________________________.

1 / 3

14. Если

y = x 2 x

то

y′

равна

1.

2

·

x

( 2

x

) -1

2.

2x

( 2

x

)

· ln x

x

3.

x

( 2

x

) - 2

·

2(1 - ln x)

4.

2x

( 2

x

) - 2

15. Если

f (x) = –1/ x,

то уравнение касательной к графику этой

функции в точке

М(-1;1)

имеет

вид __________________________.

16. Если

y =

x - 2

, то

y'

не

существует

при х, равном _____________.

17. Если

2 x

+ 2 y

= 2 y ,

то

y'

равна

1.

2x ln 2

2.

2 - 2 y ln 2

2 - 2 y ln 2

2x ln 2

3.

2x ln 2 - 2

4.

1

(2 x

ln 2 + 2 y ln 2)

2 y ln 2

2

1

x =

;

18. Если

2t +

1

то

y'x

равна _________________________.

y = 3ln2t,

120

44.

1. Функция y = f (x)

называется

дифференцируемой

в

точке

x0 ,

если

приращение

∆f

представимо

в виде _______________________.

2. Производная

функции

y = f (x)

в

точке

x0

равна

1.

1

2. tgα

3. – tgα

4. – ctgα ,

tgα

где α - это __________________.

3. Если

y = c(u(х)-v(х)),

с –число,

то

y"

равна ____________________.

4. Если

y = f (x)

определена

на

интервале (а;b)

и

f ' (x) = 0

во

всех

точках

(а;b), тогда

на

(а;b)

функция

f (x)

1. Возрастает

2. Убывает

3. Равна 0

4. Постоянна.

5. В

точке

( x0 ; y0 )

существует

вертикальная

касательная к

графику

функции

y = f (x)

тогда и только тогда, когда

производная

f ' (x)

в

точке

x0 ______________________________.

6. Если

две

функции

f (x) и g (x)

дифференцируемы

во

всех

точках

интервала

(а;b)

и

df(x) = dg(x),

то

для

них

выполняется

условие __________________.

7. Вторая производная параметрически заданной функции вычисляется по формуле ______________________.

121

8. Установить соответствие

Функции

Производные y'

А. au'( x) · ln a

1. y = au( x)

Б. au( x) · u' (x)

В. au( x) · u' (x) ln a

2. y = sin u(x)

Г. cos u' (x)

Д. cos

u(x) · u' (x)

Е. - cos

u(x) · u' (x)

Ответ: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

А. m(m - 1) · ... · (m - n)(1 + x)m - n

1. y = (1 + x)m

Б. m(m - 1) · ... · (m - n + 1)(1 + x)

m - n

2. y = ln 5x

В. m! (1 + x)m - n

(-1)n -1(n -1)!

Г.

xn

Д.

5(-1)n n!

xn

Е.

(-1)n -15n n!

xn

Ответ: 1._______, 2._______ .

10. Формулировка

теоремы

о

производной

сложной

функции

такова __________________. Доказательство _______________________.

11. Если y = x2 – x ,

x0 = 0,

∆x = 0,3, то

приращение ∆y

равно

1. 0,21

2. –0,21

3. 0,39

4. –0,39

5. 0,4.

122

12. Если

y = sin3x – 3 cos 2x –

1

,

то

y'

равна

x

1

1

1. cos 3x – 3 · sin 2x –

2. 3 · cos

3x – 6 · sin 2x

x2

x2

1

1

3. 3 · cos

3x + 6 · sin 2x +

4.

3 · cos

3x + 6 · sin 2x –

.

x2

x2

13. Если y = 2 x · 3 - x + lnx + 5 tg x , то y'

равна ________________________.

14. Если

y = x2x ,

то

y'

равна

1. x2x · 2(ln x + 1)

2. 2x2x

3. 2x2x · ln x

4. x2 · ln x .

15. Если

f (x) = x , то

уравнение

касательной

в

точке M(1/4;1/2)

имеет

вид ______________________.

16. Если y = | x + 1 |, то

y'

не существует при х, равном ______________.

17. Если x + y + xy = 2 , то y' равна

	1.	y (1 + 2 y	x)
		x(1 + 2x	y )
	3.	x(1 + 2x	y )
		y (1 + 2 y	x)

2.–

4.–

y (1 + 2 y	x)
x(1 + 2x	y )
x(1 + 2x	y )
y (1 + 2 y	x) .

18. Если	x = e2t ;	то y'x равна ____________________________.
	y = arcsin 3t,

123

45.

1. Пусть	функция	y = f (x)	определена на	(а;b), xO (a;b) ,
тогда	выражение	f (x0 + ∆x) - f (x0 ) называется _________________.

2. Производной третьего порядка называется _______________________.

3. Если функция

y = c(u(x) + v(x)), с –число, то

ее

вторая

производная y' ' равна _______________________.

4. Если	функция y = f (x)	имеет	конечную производную в	точке
x0 , то	дифференциал	df (х) в	этой точке вычисляется	по
формуле _____________________.

5. Производная	y'x	функции	x = ϕ(t);	вычисляется	по
			y = ψ(t),

формуле _________________________________________.

6. Геометрический		смысл дифференциала		функции		y = f (x)		в точке
x0 - это _____________________________.
7. Если	f (x) и	g(x) определены на			(a;b)	и	f ' (x) = g' (x)
то	между	функциями	f (x)	и	g(x)		имеет	место

соотношение ____________________.

124

8. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

А. 3(a x )n · ln a

1. y = a3x

Б. 3n · a3x · (lna)n

В. n! an · ln a · 3n

1

Г.

(-1)n+1 · (n + 1)!

xn + 2

2. y = –

x2

Д.

(-1)n · n!

xn

Е.

(-1)n · n!

xn+ 2

Ответ: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные y'

1. y = arccos

u(x)

А.

- u' (x)

1 - (u(x))2

Б.

u' (x)

1- (u(x))2

2. y = 3 u(x)

В. –

1

1 - (u' (x))2

Г.

1

33 (u' (x))2

Д.

u' (x)

33 (u(x))2

Е.

1

33 (u(x))2

Ответ: 1._______, 2._______ .

10. Производная функции y = tg x равна _____________________________.

Доказательство __________________.

125

11. Если y = 2x2 – x + 1,

x0 = 0 ,

∆x = 0,1

то

приращение

∆y

равно

1. 0,12

2. –0,12

3. 0,08

4. –0,08

5. –0,98.

12. Если y = e3x +1 + arctg

x , то y'

равна ___________________________.

13. Если

y =

1 - 4x2 · arcsin 2x –2x,

то

y'

равна

1.

4x · arcsin 2x

2. – 4x · arcsin 2x

1 - 4x2

1 - 4x2

3. –

8x

4. 8x · arcsin x

1- 4x 2

1 - 4x2

14. Если

y = (

x) x +1,

то

y'

равна

1. (x + 1)(

x) x

2. (

x)x +1 ln(

x)

3.

1

( x ) x +1 (ln x + x + 1)

4. (x +1)[

1

]x .

2

x

2

x

15. Уравнение

нормали

к

графику

функции

y = e

1- x2

в

точке

с

абсциссой

x = 1

имеет вид ____________________.

16. Если

y =| x

- 1 |,

то

y' (x) не существует при х, равном __________.

17. Если

sin xy + a xy

= 1

(a>0),

то

y'

равна

1. –

y

2.

y

3.

–

y

(cos xy + a xy · ln a)

4.

x

.

x

x

x

y

= tg

2

2t;

18. Если

x

то

y'x

равна ______________________.

2

= ctg

2t;

y

126

46.

1. Если	∆f -	приращение	функции	y = f (x)	в	точке	x0 , а
∆х -	приращение аргумента, то			геометрический			смысл
		∆f
отношения		∆x - это ______________________________.
2. Производной		шестого	порядка	функции			y = f (x)
называется _______________________.

3. По определению,	параметрически	заданной	функцией
называется _______________________.

4. Если		функция		y = c · u (x)· v(x) ,		с – число,		то ее	производная
y' равна ____________________________.
5. Касательная			к	графику	функции		y = f (x) в		точке x0
параллельна			оси	ОХ, если		f ' (xO )	равна ________________.
6. Дифференциал				функции	y = c(u(х) + v(х)) ,				с – число,
	вычисляется		по формуле ____________________________.
7. Если		y = f (z) , а		z = ϕ(x) ,	то	d 2 y	вычисляется по формуле
1.	f ' ' (z)d 2 z			2. f ' ' ( z )dz 2			3.	f ' ' (z)dz2 + f ' (z)d 2 z
4.	f ' ' (z)d 2 z + f ' (z)dz2						5.	f ' ' (z)dz2 + ϕ' (z)dz

127

8. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

А.

(-1)n -1(n -1)!

1.

y = ln 4x

xn

Б.

4n ·n!

2.

y = sin x

xn

В.

(-1)n · (n -1)!

xn

Г. sin(x +

πn)

2

Д. cos(x +

πn)

2

Е. cos nx

Ответ: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

А. eu'( x)

1. y = eu( x)

Б. eu( x) · u' (x)

2.

y = ctg u(x)

В. eu'( x) · u(x)

1

Г. –

sin 2 u(x)

Д.

u' (x)

sin 2 u(x)

Е. –

u' (x)

sin 2 u(x)

Ответ: 1._______, 2._______ .

10. Производная

функции

y = arcsin x

вычисляется

по

формуле ___________________. Доказательство _____________________.

128