Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

8. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

А.

(-1)n +1 2n n!

1. y = ln(2x + 1)

(2x + 1)n

Б.

(-1)n +1 2n (n -1)!

2. y = e-3x

(2x + 1)n

В.

(-1)n+1(n - 1)!

(2x + 1)n

Г.

3n · e - 3x

Д. (-3)n · e - 3x

Е. e - 3x

Ответ

: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные y'

А. ch u' (x)

1. y = sh u(x)

Б. – ch u(x) · u' (x)

В. ch u(x) · u' (x)

1

1

2. y = (u(x))2

Г. –

(u' (x))

Д.

- 2u' (x)

(u(x))3

Е.

- 2

(u' (x))3

Ответ

: 1._______, 2._______ .

10. Производная функции,

заданной

параметрически, вычисляется

по формуле _________________. Доказательство __________________.

139

11. Если y = 1 + x –

x2 ,

x0 = 1,

∆x = 0,1 ,

то приращение

∆y

равно

1. 0,29

2. –0,11

3. 0,09

4.

0,1

5. 0,31.

12. Если

y = arcsin 2

x ,

то

y'

равна

1.

1

2.

1

x 1 - 4x

1- 4x

3.

1

4.

1

.

1

1 - 2

x

1-

x

13. Если y =

1

e - x (3sin 3x – cos 3x) ,

то

y' равна ____________________.

10

14. Если

y = x x 2 ,

то

y'

равна

1. x x 2 + 1

2. 2x x 2 +1 · ln x

3. x x 2 +1 · (1 + 2 ln x)

4. x 2x+1 .

15. Если

y = 3 x -1 ,

то

уравнение

касательной

к графику функции

в точке

(1;0)

имеет

вид ___________________________________.

16. Если y =| x2 -1 | , то y' не существует при х, равных ________________.

17. Если

lnx + e

- y x

= с, с – число, то

y'

равна

1.

y

+ e y / x

2.

y

+ e- y / x

3. e- y/x -

y

4. e- y / x -

1 .

x

x

x

x

x = t ln t;

18. Если

ln t

то y'x равна _____________________________.

y =

,

t

140

6.ПАКЕТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДУЛЮ “ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ”

(часть 2)

51.

1.

По

теореме Ферма производная

f '(x0 )

в точке минимума функции

f

равна ___________________________.

2.

По

правилу

Лопиталя,

если

f (a) = g(a) = 0

и

существуют

f ' (a) и g' (a) , причем

g'(a) ≠ 0 ,

то

lim

f (x)

______________________.

x→a

g(x)

3. Если

функция

f

дифференцируема

на (a,b)

и

f ' (x) >0

на

(a,b), то

функция

f

на

(a,b) _________________________.

4. Если

f ' (x0 ) = 0 , а

f ' ' (x0 ) <0, то в точке x0

функция f _________________.

5. Установить соответствие

Параметры уравнения наклонной

Формулы для вычисления

асимптоты y = kx + b

k и

b

А.

lim

x

1.

k

x→∞ f (x)

Б.

lim

[x − k f (x)]

2.

b

x→∞

В. lim

f (x)

x

x→∞

Г.

lim [f (x) − x]

x→∞

Д.

lim

[f (x) − k x]

x→∞

Ответ: 1._______, 2._______ .

6. Формулировка теоремы Ролля такова ____________________________. Доказательство. __________________________.

7. По правилу Лопиталя lim xsinx равен _____________________________.

x→0+0

141

x2 -1

8. Для функции y =	x3

8.1.Областью определения являются ____________________________, точки разрыва - это ____________________________________.

8.2.Данная функция

а. Четная

б. Нечетная

в. Общего вида

8.3.Критическими точками являются _____________________________.

8.4.Интервалами возрастания и убывания, точками экстремума

являются	(таблица) _____________________________________.
8.5. Интервалами	выпуклости вверх и вниз, точками перегиба

являются (таблица) _____________________.

8.6. Асимптотами являются ______________________________________.

8.7. График данной функции имеет вид ______________ (рисунок).

52.

1. Установить соответствие

Характер критической точки x0

Необходимые условия

А.

f '(xO ) > 0

1.

Экстремум

Б.

f ''(xO ) < 0

2.

Перегиб

В.

f '(xO ) = 0

Г.

f ''(xO ) > 0

Д.

f ''(xO ) = 0

Ответ: 1._______, 2._______ .

2. По

правилу

Лопиталя,

если

функции f

и g дифференцируемы

при

х

> с,

lim f (x) = ∞,

lim g(x) = ∞,

g'(x) ≠ 0 при х > с

x→∞

x→∞

и

существует

lim

f '(x)

,

тогда ________________________________.

x→+∞ g'(x)

142

3. Если	функция f дифференцируема на (a,b) и f ' (x) <0 на
(a,b),	то	функция	f на (a,b) _____________________________.

4. Если f ' ' (x) <0 для x (a, b) , то функция f на (a,b) __________________.

5. Если y = kx + b - асимптота функции f при x → ∞, то k равно __________.

6. Формулировка теоремы о			достаточных условиях	выпуклости
вверх	(вниз)	кривой	такова: ________________________.
Доказательство ____________________________.

1

7. По правилу Лопиталя lim(1 + x 2 ) x равен ____________________________.

x→0

8. Для функции y = x · e - x

8.1. Областью определения является ________________________________,

точки разрыва - это		_________________________________________.
8.2. Данная	функция:
а. Четная		б. Нечетная	в. Общего вида

8.3.Критическими точками являются _______________________________.

8.4.Интервалами возрастания и убывания, точками экстремума

являются		(таблица) ______________________________________.
8.5. Интервалами		выпуклости вверх и вниз, точками перегиба
являются	(таблица) _________________________________________.

8.6.Асимптотами являются _______________________________________.

8.7.График данной функции имеет вид ____________________ (рисунок).

53.

1. По теореме Ролля, если функция f непрерывна на [a,b], дифференцируема

на	(a,b)	и	f (a)	= f (b) ,	то _____________________________.
2. Если		функция f		дифференцируема		в окрестности точки x0 ,
f ' (x0 ) =0		и	производная		f ' (x) <0	при	x < x0 ; f '(x) > 0
при	x > x0 ,		то ______________________________.

143

3. По правилу Лопиталя, если функции f и g дифференцируемы на (a,b) ,

lim

f (x) = lim

g(x) = 0

и

g'(x) ≠ 0

для

x (a,b) ,

то

x→a+0

x→a+0

lim

f '(x)

_________________________.

x→a +0 g'(x)

4. Если

f ' ' (x) >0

для

x (a,b) ,

то функция

f на

(a,b)

является_________________________ .

5. Установить соответствие.

Уравнение асимптот для

Необходимые и достаточные

функции y = f (x)

условия

А.

lim f (x) = ∞

x→b

Б.

lim

f (x) = a

1.

x = a

x→∞

В.

lim

f (x) =b

2.

y = b

x→∞

Г.

lim f (x) = ∞

x→a

Д.

lim f (x) = b

x→a

Ответ: 1._______, 2._______ .

6. Формулировка теоремы Ферма такова _____________________________. Доказательство ____________________.

7. По правилу Лопиталя lim (			1		)	tgx	равен ____________________________.
			x
	x→0+0
8. Для функции	y =	ln x2
		x

8.1. Областью определения является ________________________________, а точки разрыва - это _________________________________.

144

8.2. Данная функция:
а. Четная	б. Нечетная	в. Общего вида

8.3.Критическими точками являются _______________________________.

8.4.Интервалами возрастания и убывания, точками экстремума

являются (таблица) ________________________________________.

8.5. Интервалами выпуклости вверх и вниз, точками перегиба являются (таблица) ________________________________________.

8.6.Асимптотами являются________________________________________.

8.7.График данной функции имеет вид ____________________ (рисунок).

54.

1. По теореме Лангранжа, если функция f непрерывна на [a,b],

идифференцируема на (a,b), то _________________________________.

2. Установить соответствие для			дифференцируемой	функции
y = f (x) , x (a,b)
	Значения f '(x) на (a, b)		Функция y = f (x) на (a, b)
			А. Постоянна
	1.	Положительны	Б. Выпукла вверх
			В. Непрерывна
	2.	Отрицательны	С. Убывает
			Д. Выпукла вниз
			Е. Возрастает

Ответ: 1._______, 2._______ .
3. Если функция f	дифференцируема		в окрестности	точки	x0 , и
производная	f ' (x) >0	при	x < x0 ; f ' (x) < 0	при	x > x0 ,

то _______________________________.

4.Если точка x0 является точкой перегиба функции f и существует f ' ' (x) в

окрестностях точки x0 , то f ' ' (x0 ) _______________________________.

145

5. По определению, функция f называется выпуклой вниз на [a,b],

если ________________________________.

6. Формулировка теоремы о первом достаточном условии существования экстремума функции ___________. Доказательство ___________________.

3

7. По правилу Лопиталя предел lim (x) (4+lnx) равен _________________.

x→0+0

		1
8. Для	функции	y = 2x +
			x2

8.1.Областью определения является _______________________________, точки разрыва - это __________________________________________.

8.2.Данная функция:

а. Четная

б. Нечетная

в. Общего вида

8.3.Критическими точками являются _______________________________.

8.4.Интервалами возрастания и убывания, точками экстремума

являются (таблица) ________________________________________.

8.5. Интервалами выпуклости вверх и вниз, точками перегиба являются (таблица) ______________________________________.

8.6.Асимптотами являются ________________________________________.

8.7.График данной функции имеет вид ____________________ (рисунок).

		55.
1. По теореме Коши,	если функции		f и g непрерывны		на [a,b],
дифференцируемы	на (a,b)	и	g' (x) ≠ 0	для	любого

x (a,b) , то _________________________________________________.

	2. По	правилу	Лопиталя,		если	функции f и g дифференцируемы
	на	(a,b),	lim f (x) = ∞,			lim g(x) = ∞, g'(x) ≠ 0 на (a;b)
			x→a+0			x→a+0
	и	существует	lim	f '(x)	то ______________________________.
				g'(x)
			x→a +0

146

3. Установить соответствие для				дважды дифференцируемой функции
y = f (x) ,		x (a,b) ,	f ' (xO ) = 0 ,	xO (a,b) :
		Значения	f ' ' (x0 )		x0 есть точка
					А. Максимума
	1.	Положительно			Б. Разрыва
	2.	Отрицательно			В. Перегиба
					Г. Минимума
Ответ: 1._______, 2._______ .

4. Если f ' ' (x) меняет знак при переходе через точку x0 , причем f ' ' (x0 ) = 0, то для функции f (x) точка x0 является _________________.

5. По определению функция f (x) называется выпуклой вверх на (a,b) ,

если ________________________.

6. Формулировка теоремы Лагранжа такова ____________________________.

Доказательство ______________.

3

7. По правилу Лопиталя предел lim(cos 2x) x2 равен _____________________.

x→0

8. Для функции	y =	x 2	+ 1
			x

8.1.Областью определения является _______________________________,

точки разрыва - это __________________________________________.

8.2.Данная функция:

а. Четная

б. Нечетная

в. Общего вида

8.3.Критическими точками являются _______________________________.

8.4.Интервалами возрастания и убывания, точками экстремума являются (таблица) __________________________________________.

8.5. Интервалами выпуклости вверх и вниз, точками перегиба являются (таблица) _________________________________________.

8.6.Асимптотами являются _______________________________________.

8.7.График данной функции имеет вид ____________________ (рисунок).

147

f ' (x0 )

56.

1. По определению точкой перегиба называется ________________________.

2. Установить соответствие для дважды дифференцируемой функции

y = f (x) ,		x (a,b)
	Значения f ' ' (x) на (a, b)		Функция y = f (x) на (a, b)
			А. Непрерывна
	1.	Положительны	Б. Убывает
			В. Выпукла вверх
	2.	Отрицательны	С. Возрастает
			Д. Выпукла вниз
			Е. Постоянна

Ответ: 1._______, 2._______ .
3. Дифференцируема на			(a, b) функция y = f (x) возрастает на		этом
интервале,		если для x (a,b) f ' (x)
1.	Положительная		2. Отрицательная	3. Нулевая
4.	Постоянная		5. Непрерывная.
4. Если через		точку	(a,O) проходит правая	вертикальная
асимптота графика			функции y = f (x) , то	имеет	место

соотношение (через предел) _________.

5. Если x0 - точка максимума для функции y = f (x) , то

по теореме	Ферма равна _____________________________________.
6. Формулировка	теоремы Коши	такова _________________________.

Доказательство _______________________________.

2x2

7. По правилу Лопиталя предел lim( 1 ) x+1 равен ______________________.

x→0 x 2

148