Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

3. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределенностей, правило Лопиталя. Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Достаточные признаки максимума и минимума. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции. Исследование на максимум и минимум с помощью производных высших порядков. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Общая схема построения графика.

По приведенным разделам существует обширная литература с разным уровнем изложения, охватывающая программный материал в различном объеме. Для ориентации ниже предлагается перечень учебников и задачников, которые обычно используются в учебном процессе и не являются библиографической редкостью. Обучающийся может выбрать учебник в соответствии со своим уровнем математической подготовки, степенью образного мышления, индивидуальной формой восприятия языка изложения.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Виноградов И.М. Элементы высшей математики.- М.: Высшая школа, 1999.

2.Гусак Ф.Ф. Высшая математика: Учебное пособие.Т 1,2.-М.,1998.

3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и

	аналитической	геометрии. - М.: Наука, 1988, -Р.н/Д., 1997.
4.	Щипачев В.С.	Высшая математика. -		М.:	Высшая	школа,
	1985, 1998, 2000.
5.	Щипачев В.С.	Основы	высшей	математики.- М.:		Высшая школа,
	1994, 2000.
6.	Беклемишев Д.В. Курс		аналитической		геометрии	и	линейной
	алгебры. - М.: Наука, 1987.

7.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1981, 1999.

8.	Ильин В.А., Позняк Э.Г.	Линейная	алгебра. -	М.: Наука, 1999.
9.	Натансон И.П. Краткий курс высшей		математики.	- СПб., 1999.
10.	Кудрявцев Л.Д. Краткий	курс математического		анализа. - М.:
	Наука, 1989.

11. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М., 1998.

10

12.	Архипов Т.И.	и	др. Лекции по математическому		анализу .- М.:
	Высшая школа, 1999.
13.	Фихтенгольц Г.М.		Курс дифференциального	и	иинтегрального
	исчисления. Т.1-3. - СПб., 1997.
14.	Сборник задач	по	математике для втузов: Линейная		алгебра	и
	основы математического анализа / Под ред.			А.В.Ефимова		и
	Б.П.Демидовича.- М.: Наука, 1981, 1986, 1993.

15. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.-

М.: Наука, 1985.

16. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.- М.: Высшая школа, 1996.

17. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах. Ч.1,2. - М.: Высшая школа, 1986,

1999.

18. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.:

Наука, 1986, 1998.

19. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)- М.: Высшая школа, 1994.

20. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - СПб., 1995.

Для обеспечения необходимого уровня						математической подготовки
предлагается		обучающемуся			обратить		внимание		на
следующие рекомендации:
1.	Изучение	каждого		модуля		начинайте		с запоминания
определений основных понятий, утверждений и теорем.
2.	Научитесь	формулировать			теорему,		обратную к		данной;
различать необходимые			и достаточные условия в				формулировке любой
теоремы; записывать суждения с помощью						символов		математической
логики.
3. Разберите доказательства основных теорем раздела и выучите их.
4.	Решите не менее		5-10	задач	на каждую тему в модуле, чтобы
уметь:
									11

4.1. По линейной алгебре: выполнять действия с матрицами, находить матрицу, обратную к данной; вычислять определители; решать системы линейных уравнений, строить фундаментальную систему и общее решение системы линейных уравнений.

4.2. По векторной алгебре: находить координаты вектора с заданными концами, его длину, выполнять линейные операции с векторами, заданными в координатной форме или геометрически; разлагать вектор по ортогональному базису; находить скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, заданных в координатной или в любой другой форме; применять векторы для вычисления углов, проекций, площадей треугольников и параллелограммов, объемов параллелепипедов и пирамид.

4.3. По аналитической геометрии: находить уравнения прямой на плоскости и в пространстве (векторное, общее, в "отрезках",

нормальное,	канонические,	параметрические),		уравнения	плоскости	в
пространстве	(векторное,	общее,	в	"отрезках",	нормальное);

находить расстояния между точками, между точкой и плоскостью или прямой, углы между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью; приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к

каноническому	виду;	определять	тип	кривой			(фокусы,
эксцентриситет, директрисы, асимптоты) или поверхности							второго
порядка, заданной каноническим уравнением,				и	изображать ее
графически; исследовать форму поверхности методом сечений.
4.4. По теории пределов: определять верхнюю и нижнюю грань
множества, находить максимальный и минимальный							элементы
множества; вычислять пределы последовательностей						и	функций,
использовать	свойства	пределов,	замечательные				пределы,
эквивалентность;	определять бесконечно		малые		и	бесконечно

большие функции, пределы отношений бесконечно малых и бесконечно больших функций; исследовать функции на непрерывность, находить точки разрыва первого и второго рода.

4.5. По дифференциальному исчислению функции одной переменной: находить производные элементарных функций, сложных функций, параметрически и неявно заданных; вычислять дифференци алы и производные высших порядков, находить уравнения касательной прямой и нормали к плоским кривым; выполнять исследование функций одной переменной с помощью первой и второй производных, находить асимптоты, строить графики.

12

5. После изучения каждого модуля выполните тестовые задания, предлагаемые в пособии.

Проверка усвоения материала с помощьюпакетов тестовых заданий позволяет обучающемуся выявить уровень и структуру как

знания, так	и	незнания и достичь определенного стандарта в
подготовке,	своевременно устранив выявленные пробелы. Одинаковая

полнота и равномерность отображения материала контролируемого раздела

вкаждом пакете тестовых заданий обеспечивает равносильность

вариантов пакетов внутрикаждогомодуля и возможность					сравнения
результатов	тестируемых	в	группе, на	потоке,	курсе, вузе.
Использование пособия в качестве методического обеспечения
текущего контроля знаний		студентов вносит		элементы	творчества,

целенаправленности и интенсивности в атмосферу учебного процесса,

готовит студентов к			предстоящей итоговой		аттестации		в	форме
тестирования для оценивания уровня учебных					достижений		студентов		в
сравнении	с	требованиями,		заложенными	в	Государственных
образовательных стандартах по математическим дисциплинам.
Работа с пособием окажет эффективную помощь студентам заочной
и дистанционной форм обучения.
Авторы	приносят		глубокую	благодарность	научному			редактору
профессору	В.С.	Аванесову, а		также профессорам		А.А.	Пунтусу		и

А.Г. Яголе за ценные советы по усовершенствованию структуры учебного пособия.

В настоящем издании авторы обновили список рекомендованной студентам литературы.

13

1. ПАКЕТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДУЛЮ “ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА”

1.

1.По определению, матрицей называется _____________________________.

2.Единичная матрица имеет вид : ___________________________________.

3. По свойству определителей, если все элементы некоторого столбца определителя равны нулю, то _____________________________.

4. По свойству определителей, если соответствующие элементы двух столбцов пропорциональны, то ___________________________________.

5.	По следствию одного из свойств определителей,			если	элементы
	какого-либо столбца имеют общий множитель, то ___________________.
6.	Минором элемента aij определителя называется _____________________.
7.	Система линейных уравнений	AX = B	всегда	совместна, если
	столбец свободных членов B имеет вид: __________________________.

8.Элементарными преобразованиями над матрицей называются преобразования вида: ___________________________________________.

9.Используя теорему Кронекера-Капелли для системы линейных

	уравнений AX = B (A - матрица коэффициентов при					неизвестных,
_		расширенная	матрица системы),		установить	соответствие
	A -
		AX=B		Необходимое и достаточное условие
	1.	Совместна			_
				Б.	rang A < rang A
				В.	_
					rang A > rang A
					_
	2.	Несовместна		Г.	rang A = rang A
				Д.	_
					rang ( A − A) = 0
Ответ: 1. _______,			2._______.

14

10.Если все миноры k-го порядка равны нулю, то все миноры более высоких порядков ______________________________________________.

11.Для того чтобы определитель n-го порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы ____________________________________________.

12.По теореме Крамера, если выполнены условия __________________, то система линейных уравнений_____________, причем решение вычисляется по формулам ___________. Доказательство _____________.

13. Разностью	матриц		1	2				и			0			1			является
		Б=								В =
			3	0							4
матрица_______________.														1
						2	1							1	0
14. Произведением	матриц	Б=				1	0		и	В =							является
													−1
					−1		1								−1
матрица_______________.
													1
		Б= (−1					2)
15. Произведением	матриц					1			и				0				является
										В =
												−1

матрица___________________.

			1	−1	2	3
16. Величина	определителя		−1	1	1	0
			1	0	−1	0
			3	−1	2	0
1. 0 .	2. -15.	3. 15.			4. 3 .

1 −1 2

17. Обратная матрица A-1 к матрице Б= −1 1 1

1 1 0

вид:_____________________.

равна

5. -3.

имеет

15

18. Используя	метод	Крамера	для	системы
получаем		решение ___________________.

x − y + 2z− x + y + z

x + y

=3;

=0;

=1,

x

19. Общее решение системы − x

2x

20. Используя метод Гаусса

−y + 2z

+y + z

−2 y + z

для

=0;

=0; имеет вид: ______________.

=0

	− x + 2 y −3z = −3;
системы		x − y + 2z =3;
		x + y − 2z =1,

получаем решение: ______________________.

2.

1.

По

определению,

определителем

второго

порядка

называется ___________________________________.

2.Диагональная матрица имеет вид: _______________________________.

3.По свойству определителей, если строки и соответствующие

столбцы определителя поменять местами, то ___________________.

4.	По свойству определителей, если переставить местами два
	соседних столбца, то __________________________________________.

5.По следствию одного из свойств определителей сумма произведений всех элементов некоторого столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна _____________.

16

6. Установить соответствие, если								a	b
								Б =	d	, число λ ≠ 0
								c
	Определители						Величина определителей
			λa	λb			Б.	λ det A
	1.						Г.	1
			c		d		Д. det λ A
	2.		0	λ			Ж. det A + λ
							И. λ
			0	d
							К. 0
Ответ: 1. _______,							2. _______.

7.Система алгебраических уравнений называется:

1)совместной, если ___________________________.

2)несовместной, если ___________________________.

8. По определению, обратной к матрице A называется матрица A-1

такая, что ______________________________________.

9. По теореме Крамера система линейных уравнений имеет единственное решение, если_________________________, и это решение вычисляется по формулам __________________________.

10.Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно _________________________________.

11. Система	m линейных	однородных	уравнений	_	с
				AX= 0
n неизвестными, для которой rang A = m , имеет				бесчисленное
множество решений, если
1. n = m	2. n < m	3. n > m	4. m ≤ n		5. m ≥ n.

17

12.По теореме Кронекера-Капелли для совместности системы линейных уравнений_________________.Доказательство. _____________________.

																1	0	2
13.	Произведением		числа	λ = 2				на		матрицу				Б=		−1	1	0
																1	0	1
	является	матрица________________________________.
									1	0	3						1	0
14.	Произведением		матриц										и					1
							Б=		−1	1	0			В = −1
																	0
																		−1
	является	матрица __________________________.
						1
										В = (1 0			1)
15.	Произведением		матриц	Б=				и								является
						−1
						1

матрица___________________.

				1	−1	4	1
16.	Величина	определителя		−1	0	6	1
				1	−1	2	2
				0	0	2	0
	1. 1.	2. 2.			3. -2.
17.	Обратная	матрица A-1		к	матрице

вид _____________________.

равна

	4. 0.					5. -1.
		1	−1	1
Б=		−1	0	1		имеет
		1	−1	2

		x − y + z = 0;
18. Используя матричный метод для	системы		− x	+ z =1;
		x − y + 2z =1,

получаем решение ___________________.

18

							2x − y + 2z = 0;
19.		Общее	решение		системы					z = 0;	имеет
							x + y −
								+ 3z = 0
							x − 2 y
вид:_______________.
										x + 2 y − z = 0;
20.	Используя		метод		Гаусса	для	системы			− x − y + 3z =1;
									− x + y		− 2z = 0,
	получаем решение ___________________.
					3.
1.	По	определению,		определителем			третьего		порядка
	называется _________________________________.

2.Матрица называется невырожденной, если _________________________.

3.По свойству определителей, если умножить все элементы некоторого

столбца на множитель k ≠ 0, то____________________________________.

4. По свойству определителей, если каждый элемент k-го столбца представляет собой сумму двух слагаемых, то ________________________.

5. По следствию одного из свойств определителей, если определитель имеет два одинаковых столбца, то _______________________________________.

6. Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя называется ____________________.

7. Векторы (матрицы) называются линейно зависимыми, если ____________.

8. Базисом n-мерного пространства называется _____________________.

9. Рангом матрицы на языке миноров называется _______________________.

19