Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

11. Если	y = 3x + x2 ,	x0 = 1; ∆x = 0,2 , то приращение ∆y равно
1. 1	2. 1,04	3. 0,24	4. 0,96	5. 0,44.

12. Если y = 3-x + 6 log3 x – cos 4x , то y' равна ________________________.

13. Если

y = 5e - x 2 ,

то y′

равна

1. 5e-2x

2. 10x · e - x 2

3. –10x · e- x 2

4. –10x · e-2x .

14. Если

y = x

x ,

то

y'

равна

1

1

1

1. x

x -

(1 +

ln x)

2. x x -

2

2

2

1

3. x x · ln x

4. 1 x x -

2

· ln x

2

15. Уравнение нормали к графику функции y = x в точке с абсциссой x = 4 имеет вид __________________.

16. Если y =| x2 - 9 |,

то

y' не существует при х , равных ____________.

17. Если arctg(x + y) = x , то y' равна

1. arctgx

2.

1

– x

3.

1

– 1

4. (x + y)2

cos2

x

cos2

x

x = arcsin 2t;

18. Если

то y'x

равна ____________________________.

2

1 − 4t

,

y =

47.

1. По

определению, правой

производной

функции

y = f (x) в

точке

x0

называется __________________________________.

129

2. Неявно заданной		функцией		называется ____________________.
3. Механический смысл			второй	производной		функции	s = s(t) -
это ________________________.
4. Если	y = c · u (x)· (v(x)		- w(x)) ,	с – число,	то	y' вычисляется
по формуле ________________________________.
5. Если	f ' (xO ) =∞, то касательная к графику функции y = f (x)						в точке x0
параллельна оси _________________.

6. Если y = uv((хх)) , то dy вычисляется по формуле _____________________.

7. Дифференциал		третьего	порядка d3y			функции				y = f (x)
	вычисляется по	формуле ______________________________________.
8. Установить соответствие
	Функции			Производные n-го порядка y(n)
				А. e - 2 x
	1. y = e- 2x			Б. cos(3x +	π·n		)
					2
	2. y = cos 3x			В. (-1)n · 2n e - 2x
				Г. – 2n e - 2x
				Д. 3n · cos(3x		+		π·n	)
							2
				Е. –3n · sin 3x
Ответ: 1._______, 2._______ .

130

9. Установить соответствие

Функции

Производные 1-го порядка y'

А. α(u(x))α-1

y = (u(x))α

Б. α(u(x))

α -1

u' (x)

1. (α -

const)

В. α(u' (x))α -1

2.

y = arcctg u(x)

1

Г. –

1 + (u' (x))2

Д. –

u' (x)

1 + (u(x))2

Е.

u' (x)

1 + (u(x))2

Ответ: 1._______, 2._______ .

10. Производная

функции

y = ax (a > 0)

вычисляется

по

формуле _______________________. Доказательство _________________.

11. Если

y =

x - 1, x0 = 2 ,

∆x = 0,21,

то

приращение ∆y

равно

1. 0,1

2. 0,11

3. 0,21

4. –0,1

5. –0,11.

12. Если

y = ctg5x + tg5x , то

y' равна ___________________________.

13. Если				y = (1 + x2 ) · arctgx – x, то
1.		2x			2.	2x			– 1
		1 + x2				1 + x2
14. Если			y = (sin x) x ,		то		y'
1.		(sin x)x · (ln sin x + xctgx)
3.		(sin x)x · ln sin x

y′ равна

3. 2x · arctg x

4. 0

равна

2.x(sin x)x -1

4.(cos x)x · ln sin x

15. Уравнение	касательной к графику функции	1 - x 2	в точке с
		y = e
абсциссой	x = 1 имеет вид _______________________________________.

131

16. Если y =| 3x - 6 |, то y' не существует

при

х,

равном _______________.

ln y +

x

17. Если

= c ,

с - число, то

y'

равна

y

1

1

x

y

1.

+ x

2.

3.

+

1

4.

.

y

x - y

y

x - y

18. Если

x = et cos t;

то

y'x

равна ___________________________.

t

sin t,

y = e

48.

1. Производная

f ' (x)

в

точке

x0

существует,

если

правая

f ' (x0 + 0)

и

левая

f' (x0 – 0) производные удовлетворяют соотношению

1. f ' (x0 + 0) < f' (x0 – 0)

2. f ' (x0 + 0) > f' (x0 – 0)

3. f ' (x0 + 0) = f' (x0 – 0)

4. f ' (x0 + 0) ≤ f' (x0 – 0)

5. f ' (x0 + 0) ≥ f' (x0 – 0)

2. Механический

смысл

производной

– это _________________________.

3. Производной пятого

порядка

называется _________________________.

4. По

определению,

обратной

функцией

f -1( y)

к

функции

y = f (x)

называется ______________________.

5. Если

y = (u(х) + v(х)) · w(х) ,

то

y'

равна ________________________.

6. Если нормаль к графику

функции y = f (x) в точке x0

параллельна оси

ОY,

то

f ' (x0 )

равна __________________________________.

7. Если y = c u(x) v(x) ,

с – число,

то

dy

вычисляется

по

формуле_____________________.

132

8. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

А.

n!

1. y = ln(x + 1)

(x + 1)n

Б.

(-1)n (n -1)!

2. y = α4x

(x + 1)n

В.

(-1)n -1 (n -1)!

(x + 1)n

Г. 4n α4x (ln α)n

Д. α4x (ln α)n

Е. 4n (α4 x )n (ln α)n

Ответ

: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные y'

А.

1

1.

y = loga u(x)

u' (x) ln a

(a > 0)

Б.

u' (x)

u(x) ln a

2.

y = ctg u(x)

В.

u' (x)

u(x)

1

Г. –

sh 2u' (x)

Д. –

u' (x)

sh 2u(x)

Е.

u' (x)

sh 2u(x)

Ответ

: 1._______, 2._______ .

10. Производная функции y = sin x вычисляется по формуле __________.

Доказательство ________________________.

133

11. Если	y = 2x , x0 = 2 ,	∆x = 0,42 ,	то приращение ∆y	равно
1. 0,1	2. 0,2	3. 0,42	4. 0,21	5. 0,3.

12. Если y =5 - x + tg3x - 3cos2x , то y' равна ________________________.

13. Если y = 1 - x 2 · arccos x + x , то y'				равна
1. –	x arccos x	2.	x arccos x	3.	x	4. –	x
								.
	1 - x2		1 - x2		1 - x2		1 - x2

14. Если y = (2x) x ,

то

y'

равна

1. x(2x) x-1

2. (2x) x · ln 2x

3. (2x)x · (ln2x +1)

4. 2(2x) x · ln 2x

15. Угловой

коэффициент

касательной

к

графику

функции

x3 + y3 – xy – 7 = 0

в точке

(1;2)

равен

1.

3

2.

1

3. –

1

4.

6

5.

1

11

11

11

11

13

16. Если

y =| 2x + 4 |,

то

y' не существует при х, равном ___________.

17. Если

ye y

= e x +1 , то

y' равна __________________________________.

x = t 2

+1 ;

18. Если

t −1

то

y'x

равна __________________________.

y =

t 2

+1

,

134

49.

1. Функция y = f (x) называется

дифференцируемой

в

интервале

(a;b),

если _________________________.

2. Производной

третьего

порядка

функции

y = f (x)

называется ____________________.

3. Точки

М

и

М1

принадлежат

графику

функции

y = f (x) .

Предельное

положение

секущей

ММ1

(когда точка М1 вдоль

по

графику

стремится

к

точке

М)

называется _____________.

4. Если для функции

y = f (x)

существует

конечная,

не равная

нулю

производная

f ' (x) ,

то

производная обратной

функции

x = f -1( y)

в

точке

y0 = f (x0 )

вычисляется

по

формуле ________________________.

5. Если

y =

u(x)

,

число

с ≠ 0 , то d4y равен ________________________.

c

6. Если

y = f (z)

и

z = ϕ(x)

и

существуют

y'x

и

z'x

,

то

дифференциал

dy

сложной

функции y(z(x))

вычисляется

по

формуле _________________.

7. Утверждение

о

связи

непрерывности

функции в

точке

с

ее

дифференцируемостью

состоит в

следующем _____________________.

135

8. Установить соответствие

Функции

Производные n-го порядка y(n)

А.

7n!

7

xn

1. y =

x

Б.

7

xn +1

2. y = cos x

В.

(-1)n · 7n!

xn +1

π

Г. cos(x + n 2 )

Д. cos nx

Е. cos(x + nπ)

Ответ

: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные y'

А.

1

1. y = ch u(x)

1 + (u' (x))2

Б. sh u' (x)

2. y = arctg u(x)

В. sh u(x) · u' (x)

Г.

u' (x)

1 + (u(x))2

Д.

u' (x)

1 + (u(x))2

Е. – u' (x) sh u(x)

Ответ

: 1._______, 2._______ .

10. Производная функции

y =

u(х)

(v(x) ≠ 0 )

вычисляется

v(х)

по формуле ____________. Доказательство.________________________.

136

11. Если		y = x2 – 5x + 6 ,		x0 = 1,	∆x = 0,1,	то приращение		∆y равно
1. -0,35		2. –0,5		3. 0,5		4. – 0,29	5. 0,29.
12. Если		y = arcsin(1 - x) +		2x - x2 ,	то y'	равна
1.	2 - x		2.	- x	3.	2	4.	3
	2x - x2			2x - x2		2x - x2		2x - x2 .
13. Если		y = esin 2 x ,	то	y'	равна _______________________.
14. Если y = x x , то			y'	равна

		1		1	-1	2. x	2			x		1 - ln x		1
	1.		x x					x	3.		x ·		4.		.
		x										x2		x1- x
													x · x

15. Уравнение нормали к графику функции y = ln2x в точке ее пересечения

с осью ОХ имеет вид _______________.

16. Если

y =| 2x - 4 |,

то

y' не

существует

при х,

равном ____________.

17. Если

tg y = xy ,

то

y'

равна

1. y cos2 x

2.

y cos2 y

3.

cos2 y

4.

cos2 y

.

1 - x cos2

y

1- x cos2

y

1- x

18. Если

x = α(t −sin t);

то y'x

равна _____________________.

y = α(1 - cos t),

137

50.

1. По

определению,

левой

производной

функции

y = f (x)

в точке

x0

называется _______________________.

2.

Производной

четвертого

порядка

функции

y = f (x)

называется __________________.

3. Если

y =

u(x) - v(x)

,

число

с ≠0

то y' равна _______________________.

c

4.

Если y = f (z) , а

z = ϕ(x) ,

то

производная

сложной

функции

y'x

вычисляется

по

формуле _______________________.

5. Если

две

функции f (х)

и g(х)

во

всех

точках

интервала

(a,b)

дифференцируемы

и

df(х) - dg(х)= 0,

то

функции

f и

g удовлетворяют

соотношению ____________.

6. Если нормаль к графику функции y = f (x) в точке x0 параллельна оси

	ОХ, то f ' (x)				равна ___________________.
	7. Если	y =	с	,	с – число, u(x) ≠ 0 ,	то	дифференциал
			u(х)
	dy	равен _____________________.
	138