Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

13. Уравнения прямой, проходящей через точку M (1;2;1) параллельно оси

OX, имеют вид ______________.

14.

Прямые

x + y + 2 = 0

и

x

+

y

=1

образуют

острый угол,

2

−1

тангенс которого равен

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 1/3.

5. 1/2.

15.

Плоскости

2x + 3y + nz −1 = 0

и

mx + 6 y − 2z =1

параллельны,

если m и n соответственно равны _______________________.

16.

Канонические уравнения прямой,

проходящей через точку

M (1;−1;−3)

параллельно прямой

x +

2 y − z + 5 = 0

, имеют вид ___________.

y

+ 2z − 1 = 0

x

= t

− 1

17.

Острый

угол между

прямой

и

плоскостью

y = − t + 2

=

2t

z

x + y + 2 z + 5 = 0

равен

1. 20°

2. 30°

3. 45°

4. 60°

5. 75°.

18.Большая ось эллипса равна 10, а расстояние между фокусами F1 (0;−c) и

F2 (0;c) равно 8. Уравнение эллипса имеет вид _____________________.

19.Уравнения асимптот гиперболы y = ± 43 x , а расстояние между фокусами

F1 (−c,0) и F2 (c;0) равно 20. Каноническое уравнение этой гиперболы имеет вид ______________________.

20.Парабола имеет фокус F(0;−3) и вершину, совпадающую с началом координат. Каноническое уравнение этой параболы имеет вид ________.

69

24.

1. Геометрический смысл “k” в уравнении прямой y = kx + b

есть _________________.

2.Прямые A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 параллельны, если между их коэффициентами имеет место соотношение ______________.

3. Нормальное уравнение прямой имеет вид ___________________.

4.Если точка M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) принадлежит плоскости Ax + By + Cz + D = 0 ,

то выполняется равенство _________________.

5.Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

перпендикулярно вектору n( A; B;C) , имеет вид ________.

6. Плоскость x cos α + y cos β + z cos γ = p (p≥0) находится от начала координат на расстоянии, равном ________.

7.Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид ________.

			x = lt	+ x0
	8.	Если прямая			и		плоскость Ax + By + Cz + D = 0
			y = mt + y0
				+ z0
			z = nt
		перпендикулярны, то имеют место соотношения ____________________.
	9.	Уравнения асимптот гиперболы			x2	−	y 2	=1 имеют вид ______________.
					a2		b2

70

10.

Установить соответствие

Название поверхностей

Уравнения поверхностей

(p,q>0)

1.

Эллиптический

А.

x

2

+

y

2

+

z

2

= 0

параболоид

a2

b2

c2

2.

Конус

Б.

x2

+

y 2

= 0

p

q

В.

x2

−

y 2

= 2z

p

q

Г.

x2

+

y 2

= 2z

p

q

Д.

x2

−

y 2

+

z

2

= 0

a2

b2

c2

Ответ: 1._______, 2._______ .

11.

Установить соответствие

Рисунки поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

А.

x

2

y

2

+

z

2

= −1

a2

b2

c2

Б.

x2

+

y 2

+

z

2

= 0

a

2

b

2

c

2

2.

В.

x2

+

y 2

+

z

2

=1

a

2

b

2

c

2

Г.

x2

−

z 2

= −1

a

2

c2

Д.

y 2

−

z 2

= −1

b

2

c

2

Ответ: 1._______, 2._______ .

12.Параболой называется _____. Вывод ее канонического уравнения _____.

13.Прямые x − y +1 = 0 и y = 2x + 5 образуют острый угол, тангенс которого равен

1. 1.	2.	1	.	3.	1	.	4.	2	.	5.	1	.
		2			3			3			4
											71

14.	Координаты проекции точки P(-6;4)						на	прямую	4x − 5y + 3 = 0
	равны _________________________.
15.	Две стороны	квадрата		лежат		на	прямых 3x − 4 y − 4 = 0 и
	3x − 4 y +11 = 0 . Его		площадь		равна
	1. 16	2. 25			3. 49			4. 9		5. 225.
16.	Уравнение плоскости, проходящей через точку M(1;1;1) параллельно
	векторам ar(1;2;0) ,		b(1;0;2) ,			имеет		вид __________________.
17.	Плоскости	mx + 8y − z +1 = 0					и	2x + my +10z −1 = 0
	перпендикулярны,		если	m	равно
	1. 1	2. 2			3. 3			4. 0		5. -1.
18.	Канонические	уравнения			прямой,		проходящей		через	точку
	M(1;1;2)	параллельно				прямой			2x − y + z = 0		,
										− z = 0
									x

имеют вид ________.

19. Фокальные радиусы точки M(0;4) эллипса x2 + y2 =1 равны ________. 25 16

20. Фокусы гиперболы расположены на оси ординат симметрично

	относительно начала координат, уравнения асимптот	y = ±	12	x , а
			5

расстояние между вершинами - 48. Каноническое уравнение этой гиперболы имеет вид ____________.

	25.
1. Прямые y = kx и	y = kx + b (b≠0)
1. Параллельны.	2. Перпендикулярны.
3. Совпадают.	4. Образуют острый угол.

2.Уравнение прямой, проходящей через точки M1 (x1 ; y1 ) и M 2 (x2 ; y2 ) ,

имеет вид ________.

72

3.Расстояние от начала координат до прямой x cos α + y sin α = p (p>0)

равно ________.

4.Уравнение “в отрезках” для плоскости имеет вид ___________________.

5.Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

параллельно плоскости Ax + By + Cz = 0 , имеет вид _________________.

6.

Двугранный угол ϕ

между

плоскостями

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

вычисляется по

формуле _____________.

7.

Если

прямая

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

параллельна плоскости

n

l

m

Ax + By + Cz = 0 , то имеет

место

соотношение __________________.

8.

Если

прямые

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

и

А1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

l

m

n

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

перпендикулярны, то имеет место соотношение _____________________.

9.Эллипс – это геометрическое место точек ________. Каноническое уравнение эллипса имеет вид ________________________.

10.Установить соответствие

Название поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

Гиперболический

А.

x

2

+

y

2

−

z

2

=1

параболоид

a2

b2

c2

2.

Конус

Б.

x2

+

y 2

= 2z

( p,q > 0)

p

q

В.

x2

−

y 2

= 2z

( p,q > 0)

p

q

Г.

x2

+

y 2

−

z

2

= 0

a2

b2

c

2

Д.

x2

−

y2

−

z

2

=1

a2

b2

c

2

Ответ: 1._______, 2._______ .

73

11. Установить соответствие (p>0)

Рисунки поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

А.

x

2

+

y

2

−

z

2

=1

a2

b2

c2

Б.

x2

−

y 2

+

z 2

= −1

a 2

b

2

c2

2.

В.

x 2

= 2 py

Г. y 2 = 2 px ( p > 0)

Д.

x2

−

y 2

+

z 2

=1

a2

b

2

c2

Е.

z 2 = 2 px

Ответ: 1._______, 2._______ .

12.

Нормальное

уравнение

прямой

имеет

вид____________.

Вывод ______________________.

13.

Острый угол,

образованный

прямыми

y = x − 2

и y = 2 ,

равен

1. 15°

2. 30°

3. 45°

4. 60°

5. 75°.

14.

Расстояние

от

точки (-1;1)

до

прямой

3x − 4 y − 3 = 0

равно

1. 1/2.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 10.

15.

Плоскости

Ax + 4 y − 2z + 5 = 0

и

x + 2 y + Cz −1 = 0

параллельны, если

A и C соответственно равны _____________________________________.

16.Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки

M(0;1;1), N(1;2;3), имеет вид _______________________.

	x = 2t	+ 1
17. Уравнение плоскости, проходящей через прямую
	y = − 3t − 2
		+ 2
	z = 2t

перпендикулярно к плоскости 3x + 2 y − z − 5 = 0 , имеет вид _________.

74

18. Канонические уравнения прямой	x		+ 2z + 5 = 0	имеют
			y + z + 1 = 0
	x	−

	вид ______________________.
19.	Расстояние	между	фокусами		F1 (−c;0)	и	F2 (c;0)
	гиперболы равно 10, а эксцентриситет равен 1,25. Каноническое
	уравнение	гиперболы	имеет	вид _________________________.
20.	Точка M с ординатой, равной 6, лежит на параболе y 2 =12x . Фокальный
	радиус точки M равен
	1. 1.	2. 2.	3. 3.		4. 4.		5. 6.
			26.

1.Геометрический смысл коэффициента “b” в уравнении прямой y = kx + b

есть ________.

2.Уравнение прямой, проходящей через точку M (x0 ; y0 ) параллельно прямой Ax + By + C = 0 , имеет вид ________.

3.Расстояние от точки M (x0 ; y0 ) до прямой x cos α + y sin α = p (p>0)

равно ________.

4.Общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат, имеет вид __________.

5.Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) параллельно координатной плоскости XOY, имеет вид _______________.

6.Для уравнения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 уравнение ax + by + cz = d

будет уравнением “в отрезках”, если	a, b, c и d
соответственно равны ________.

7. Система A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0	определяет прямую в пространстве,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

если коэффициенты удовлетворяют соотношениям ________.

75

	x − x		y − y		z − z	x
8. Если прямые	1	=	1	=	1	и y
					n1
	l1		m1
						z

имеют место соотношения _________.

=l2t + x2

=m2t + y2 параллельны, то

=n2t + z2

9.

Парабола

есть

геометрическое

место

точек

________.

Каноническое уравнение параболы _______________________.

10.

Установить соответствие

Название поверхностей

Уравнения поверхностей

(p,q>0)

1.

Параболический

А.

x2

+

y

2

= 2z

p

q

цилиндр

x2

y

2

Б.

−

= 2z

2.

Пара

p

q

пересекающихся

В.

x2

−

y

2

= 0

плоскостей

a2

b

2

Г.

x 2 = 2 py

Д.

x2

−

y

2

=1

a2

b

2

Ответ: 1._______, 2._______ .

11.

Установить соответствие (p>0, q>0)

Рисунки поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

А.

x

2

+

y

2

= 2z

p

q

Б.

x2

−

y 2

= −2z

p

q

В.

x2

−

y 2

= 2z

2.

p

q

x2

y 2

Г.

+

=1

a2

b

2

Д.

y 2

+

z 2

=1

b2

c

2

Ответ: 1._______, 2._______ .

76

12.	Угол между прямыми y = k1 x + b1 и	y = k2 x + b2 равен ________.
	Доказательство __________________________.
13.	Уравнение прямой, проходящей через	точку М(1;2) параллельно
	оси OY, имеет вид _______________________.

14.Даны две точки Р(2;3) и Q(-1;0). Уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку PQ, имеет вид __________________.

15.

Точка

на

положительной

полуоси

OY,

отстоящая

от

плоскости

x + 2 y − 2z − 2 = 0

на

расстоянии

d = 4,

имеет

координаты

1. (1;7;0).

2. (0;5;0).

3. (0;7;0).

4. (0;6;1).

5. (1;2;0).

16.

Уравнение

плоскости,

проходящей

через

прямую

x − 2

=

y

=

z +1

1

−1

параллельно вектору ar(2;−1;2) , имеет вид ________.

2

2x + y − z −

3 = 0

x = 2t

+ 1

17.

Прямая

перпендикулярна

прямой

= − t

− 1 ,

y

x

+ y + z −

1 = 0

= at

если a равно

z

1. 6.

2. 7.

3. -7.

4. 4.

5. 5.

18.

Эксцентриситет

эллипса

9x2 + 25 y 2 = 225

равен

1.

4

.

2.

4

.

3.

3

.

4.

5

.

5.

5

.

5

5

3

3

4

19.

Фокусы

гиперболы

x2

−

y 2

= −1

лежат

на

оси

________,

9

40

и расстояние между ними равно _______________.

20.

Уравнение

директрисы

параболы

y 2 = 4x − 8

имеет

вид ____________________________.

77

27.

1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через начало координат, имеет вид _____________________________________.

2. Прямые A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 совпадают, если их коэффициенты удовлетворяют соотношениям ______________________.

3.	Уравнение “в отрезках” для прямой имеет вид									________.
4.	Уравнение			By + D = 0		задает	в	пространстве		________,
	перпендикулярную оси ___________________________________.
5.	Геометрический				смысл	коэффициента		p в уравнении		плоскости
	x cos α + y cos β + z cos γ = p (p>0) есть ____________.
6.	Расстояние			d	от	начала	координат		до	плоскости
	Ax + By + Cz + D = 0 равно _________________.
7.	Координаты				направляющего			вектора		прямой
		A x + B y + C z + D = 0				равны _______________________________.
		1	1	1	1
	A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

8.Канонические уравнения прямой, проходящей через начало координат и

точку

M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) ,

имеют

вид _______________________.

9. Координаты фокуса параболы x 2 = 2 py равны _____________________. 78