Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]
.pdf
|
|
|
|
|
|
2 |
− 4 |
3 |
|
17. Обратная |
матрица |
A-1 |
к |
матрице |
|
1 |
− 2 |
4 |
|
Б= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид: _____________________.
|
|
|
2x − 4 y + 3z =1; |
|
|
|
|
18. Используя матричный метод |
для системы |
|
x − 2 y + 4z =3; |
|
|
|
3x − y + 5z = 2, |
|
|
|
получим решение ___________________.
|
|
|
3x |
19. Общее |
решение системы |
|
|
2x |
|||
|
|
|
x |
|
|
|
вид_______________.
+ 2 y − z = 0;
− y + 3z = 0; имеет
+ y − z = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 y + 3z =5; |
20. Используя |
метод |
Гаусса |
для |
|
системы |
2x − y − z =1; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3y + 4z = 6, |
|
получим |
решение ________________________________. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
1. |
Таблица |
вида |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
называется _________________ |
||
|
... ... ... |
|
||||||||
|
|
|
... |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
am2 |
... |
amn |
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
|
|
|
|||
|
размера________________________. |
|
|
|
|
|||||
2. |
Матрицу |
A |
размера |
5 х |
3 |
можно |
умножить |
на матрицу B |
||
|
размера |
mх8, |
если |
m |
|
равно ________________________. |
30
3. По |
свойству |
определителей, |
|
если |
AT -транспонированная |
||||||
|
матрица |
к матрице |
A, то |
ее |
определитель |
det AT |
равен |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число решений AX = 0 |
|
|
|||
|
1. −det A |
2. det A−1 |
3. det A |
4. (det A)−1 |
5. det(−A) |
4.По свойству определителей, если каждый элемент k-й строки представляет собой сумму двух слагаемых, то ______________.
5.Система из n линейно независимых векторов в пространстве R n
образует ___________________________.
|
|
_ _ |
_ |
|
|
6. Система векторов |
b1 ,b2 ,...,bn |
называется линейно |
независимой, |
||
если |
равенство |
____________ |
выполняется тогда |
и только |
|
тогда, |
когда _______________________. |
|
7.Система уравнений AX = B называется однородной, если______________.
8.Необходимым и достаточным условием равенства нулю определителя m-го порядка является _____________________________.
9. Для системы с n неизвестными |
_ |
|
|||
AX = 0 (A - матрица коэффициентов |
|||||
|
при неизвестных) установить соответствие |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1. |
rang A = n |
|
Б.Бесконечное множество |
|
|
|
Г. Только тривиальное |
|
||
|
2. |
rang A < n |
|
|
|
|
|
(нулевое) |
|
||
|
|
|
|
Д.Нет решений |
|
|
|
|
|
Ж. Равно n |
|
|
|
|
|
|
|
31
Ответ: 1. _______, 2. _______. |
|
|
||||||
10. По |
теореме |
Кронекера-Капелли |
система |
уравнений |
||||
a x + b y + c z = d |
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
a2 x + b2 y + c2 z = d2 |
совместна |
тогда и |
только тогда, |
|||||
a |
3 |
x + b y + c z = d |
3 |
|
|
|
||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||
когда ___________, где |
__ |
|
|
|||||
A и A имеют вид_____________________. |
11. По теореме о вычислении обратной матрицы через алгебраические дополнения А-1=__________________, если определитель матрицы А___________________.
12.По свойству о вычислении определителя с помощью его разложения по любой строке (столбцу) определитель равен____________________.
Доказательство. __________________________.
|
1 0 |
1 |
|
|
−1 |
0 |
−1 |
|
||
|
−1 |
2 |
0 |
|
и |
|
1 |
2 |
|
является |
13. Разностью матриц Б= |
|
В = |
1 |
|||||||
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
−1 |
1 |
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица _______________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. Произведением |
матриц |
Б= −1 |
1 |
и |
|
|
|
|
|
В = |
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
является матрица_______________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
15. Произведением матриц Б= (−1 0 2) |
|
|
|
|
|
и В = |
|
1 |
|
является |
|
|
|
||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица___________________.
32
|
|
1 |
1 |
−1 |
4 |
|
|
16. Величина |
определителя |
0 |
−1 |
0 |
3 |
равна |
|
−1 |
1 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
1. 1 |
|
|
2. 2 |
|
|
|
|
3. -2 |
4. -1 |
|
|
|
|
5. 0. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Обратная |
матрица |
|
A |
к |
матрице |
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
Б= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
−1 |
|
|
имеет |
вид:_____________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y |
|
|
=5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Используя |
метод |
Крамера |
|
для |
системы |
|
x |
|
+ 3z =16; |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y − z =10, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
получим решение ___________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19. Общее решение системы 2x −5y + 2z = 0; |
имеет вид: _____________. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 y −3z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ y |
− z =1; |
|
||
20. Используя |
метод |
|
Гаусса |
|
для |
системы |
|
x |
+ 2 y |
−3z = 2; |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
+ y |
+ 2z =1, |
||||
|
получим решение: ___________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
0 |
a22 |
... |
a2n |
|
называется ______________ матрицей. |
|
|||||||||
Таблица вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
... ... ... ... |
|
|
(какой?) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
... |
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Если |
АВ = ВА, |
то |
матрицы А и В называются ________________. |
33
|
a |
b |
|
3. Установить соответствие, если |
|
1 |
1 |
Б = a2 |
b2 |
||
|
a |
3 |
b |
|
|
3 |
c1 c2 c3
Ответ: 1. _______, 2. _______. |
|
|
|
4. По следствию одного из |
свойств определителей, если все |
||
элементы некоторой |
строки |
равны 0, кроме одного элемента, |
|
то |
|
определитель |
равен |
__________________________________________.
|
|
|
Определители |
|
|
|
|
Величина определителей |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
Б. |
det A + 2det(2A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г. |
0 |
|
||||
|
1. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
a1 + 2a2 |
b1 + 2b2 |
c1 + 2c2 |
|
|
|
Д. |
det AT |
|
|||
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
Ж. 3det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
З. |
2 det AT |
|
|||
|
2. |
2b1 2b2 |
2b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
К. det(2AT ) |
|
|||||
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Обратная матрица A−1 к матрице |
|
|
a |
b |
имеет вид________________. |
||||||||
Б= |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
d |
|
|
|
34
|
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
|
|
6. Определитель |
a21 |
a22 |
0 |
a24 |
с помощью разложения |
|
a31 |
a32 |
a33 |
a34 |
|||
|
|
|||||
|
a41 |
a42 |
0 |
a44 |
|
по третьему столбцу вычисляется по формуле ________________.
7. Максимальный |
порядок |
миноров матрицы, отличных от нуля, |
равен (k + 1), |
тогда ранг |
этой матрицы равен _______________. |
8. Решением системы линейных уравнений называется_______________.
9. Если все миноры m-го порядка матрицы равны 0, то все миноры более
высоких |
порядков |
этой матрицы |
|
||
1. |
Отрицательные |
|
2.Положительные |
3. Нулевые |
|
4. |
Равны рангу матрицы |
5.Больше ранга матрицы. |
|
||
10. Если главный определитель ∆ = det A неоднородной системы |
линейных |
||||
уравнений |
AX=B |
равен 0, |
а хотя бы один из определителей |
||
∆xi (i =1,...n) отличен от нуля, то система имеет |
|
||||
1. Единственное решение |
2. Множество решений |
||||
3. |
Нет решений |
|
4. Ровно n решений |
11.По свойству элементарных преобразований, ранг матрицы не изменится, если ___________________________.
12.Для того чтобы система линейных однородных уравнений имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо и достаточно,
чтобы___________________. Доказательство.__________________.
35
|
1 0 |
|
2 |
|
и |
|
В = |
|
2 3 |
|
−1 |
|
является |
||
13. Суммой матриц Б= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
−1 0 1 |
|
|
|
|||
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
матрица : _______________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. Произведением матриц |
Б |
|
|
|
|
|
|
и |
|
В = |
1 |
|
0 |
|
является |
= |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица_______________.
15. Произведением матриц Б= (2 −1 1)
матрица___________________.
16. Величина |
определителя |
1. 0 |
2. -8 |
3. 8 |
17.Обратная матрица A−1 к матрице
вид:_____________________.
18. Применяя |
матричный метод |
к |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
В = |
|
0 |
|
|
является |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
−1 |
|
1 |
|
|
|
равна |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
4 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
4. 4 |
|
|
|
|
|
5. -4. |
|
|
|
2 −3 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
− 4 |
|
имеет |
|
Б= |
|
|
||||||
|
|
4 |
1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −3y + z = 2; |
||||
системе |
|
|
x + 5y − 4z = −5; |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + y −3z = −4, |
получим решение ___________________.
19. Общее |
решение |
системы |
3x + 2 y + 2z = 0; |
|
5x + 2 y + 3z = 0 |
||||
|
|
|
имеет вид: ________________.
36
|
|
|
|
|
|
2x −3y + z = −7; |
|
20. Используя |
метод |
Гаусса |
для |
системы |
|
x + 4 y + 2z = −1; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x − 4 y |
= −5, |
|
|
|
|
|
|
||
получим решение: ___________________. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
9. |
|
|
|
|
1. По определению, транспонированной к матрице A |
называется матрица |
||||||
AT такая, что_______________________. |
|
|
|
|
a1 b1 c1
2. Величина определителя a2 b2 c2 при разложении по третьей строке
0 b3 0 равна__________________________.
3.По следствию одного из свойств определителей, если определитель имеет две одинаковые строки, то ___________________.
4. |
|
Алгебраическим |
дополнением |
элемента |
|
a34 |
определителя |
||||||||||
|
|
называется _____________________________. |
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
Установить соответствие, если |
a |
b |
|
1 |
b |
число λ ≠ 0 . |
||||||||||
Б= |
, |
В = |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
d |
|
d |
|
|
|
|
|
Определители |
|
|
Величина определителей |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λc |
λd |
|
|
|
|
|
|
Б. |
λ det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
Г. |
det A |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
Д. λ (det A + det B) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2. |
λ |
a +1 |
b |
|
|
|
|
|
Ж. λ det(A + B) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
c + 2 |
d |
|
|
|
|
|
З. |
− λ det A |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1. _______, |
2. _______. |
|
|
|
|
|
|
|
37
6.По следствию одного из свойств определителей, сумма произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна ____________________.
7.Если произведение матриц AB= E (E - единичная матрица), то матрица B
называется ______________ и обозначается__________________________.
8. |
Если ранг матрицы размером |
m ×n равен k, то порядок базисного минора |
||||||||
|
этой матрицы равен _________________________. |
|
|
|
||||||
9. |
Система |
однородных |
|
линейных уравнений |
|
_ |
с n |
|||
|
AX = 0 |
|||||||||
|
неизвестными, |
для |
которой |
rang A = r , |
совместна, |
если |
||||
|
1. r = 0 |
|
2. n < r |
|
3. 0 > r |
4. Всегда |
5. Никогда. |
|||
10. Если выполняется условие ________________, то решением |
X системы |
|||||||||
|
линейных |
|
неоднородных |
уравнений |
AX=B |
|
является |
|||
|
1. AB |
|
2. BA-1 |
|
3. A-1B |
4. (AB)-1 |
5. (BA)-1. |
|||
11. Система с ненулевыми коэффициентами |
aij (i =1,2; j =1,2,3) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
+a12 x2 +a13x3 =b1; |
|
|
|
|
||
|
|
|
a11x1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a22 x2 +a23x3 =b2 ; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
=b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1)совместна, если b3__________________,
2)несовместна, если b3 ________________.
12.Формулировка теоремы о вычислении элементов обратной матрицы
через |
алгебраические |
|
дополнения |
|
такова:_________. |
||||||
Доказательство. ___________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. Разностью |
матриц |
|
2 |
3 |
5 |
и |
|
0 |
4 −3 |
|
является |
Б= |
|
|
|
В = |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
−1 − 2 |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
матрица : _______________.
38
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б = (−1 |
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
Произведением |
матриц |
2 |
|
|
и |
В = |
|
0 |
|
|
является |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
матрица___________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. |
Произведением |
матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
В = |
0 |
|
1 |
является |
||||
|
Б= |
1 |
−1 |
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
матрица_______________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
16. |
Величина |
|
определителя |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
−1 |
−1 |
|
|
равна |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
1. 1 |
|
2. 2 |
|
|
|
3. -4 |
|
|
|
|
|
4. 4 |
|
|
|
|
5. -2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
Обратная |
матрица |
-1 |
|
к |
матрице |
|
Б= |
|
−1 |
|
1 |
0 |
|
имеет |
|||||
A |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
вид:_____________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y + 3z = 7; |
||
18. |
Применяя |
метод |
Крамера |
к |
|
|
|
|
системе |
|
|
|
|
=3; |
||||||
|
|
|
|
|
− x + y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
=1, |
|
|
получаем решение ___________________. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x −3y + |
|
z = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
Общее решение системы |
|
x + |
y + |
|
z = 0; |
имеет |
вид: ___________. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x − 2 y + 2z = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 y + 3z = 3; |
|||
20. |
Используя |
метод |
Гаусса |
для |
|
|
системы |
|
|
|
y − 2z = −3; |
|||||||||
|
|
− x + |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x − y + 2z = −1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим решение: ___________________.
39