Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

10.

Совместная

система

неоднородных

линейных

уравнений

с

n

Произведение

Результат

a

c

Б.

AT

1. det A

Г.

E

−1

b

d

Д.

A

1

d

−b

Ж.

AT det A

2.

−1

− c

a

З.

A

det A

det Α

К.

1

Б−1

detБ

неизвестными

AX=B,

для

которой

rang

A = r,

имеет

множество решений, если

1. n = r

2. n < r

3. n > r

4. r ≤ n

5. r ≥ n.

11.

Установить

соответствие,

если

Б=

a

b

,

1

0

Е =

.

0

1

c

d

Ответ: 1. _______, 2. _______.

12.По теореме о ранге матрицы, элементарные преобразования над матрицей____________________. Доказательство._______________.

					1		0	2
13.	Произведением	матрицы			−1		1	0		на	число		k = -1
			Б=
					1		−1	1
	является матрица _______________.
				1		0				1	−1
14.	Произведением	матриц		−1		1		и					является
			Б=						В =		1
				0	−					0
						1
	матрица_______________.
										−1
15.	Произведением	матриц	Б= (2		1	−1)		и		В =	1		является
											1

20

	матрица___________________.
				−1	1	1	4
16.	Величина	определителя		2	0	−1	3		равна
				1	−1	1	2
				0	0	0	2
	1. -2	2. 8			3. -4				4. 4				5. -8.
										−1	1		1
17.	Обратная	матрица		A	к	матрице				2	0			имеет
									Б=				−1
				-1
										1	−1		1
вид:_______.
											− x + y + z =3;
18.	Используя	метод	Крамера		для		системы							− z = 2;
											2x
												x − y + z =1,
	получаем решение ___________________.
					x + 2 y + z = 0;
19.	Общее решение		системы						имеет
					x − y + 2z = 0;
						+ y	+ 3z = 0
					2x

вид____________.

− x −3y − z =1;

20. Используя метод Гаусса для системы x + y − z = 0 ;

x + 2 y + z = 2,

	Определители					Величина определителей
	получаем решение ___________________.
			4.
	a		........a
		11		1n
1. Произведением матрицы Б=		.................				на число λ ≠ 0 называется
	am1......amn

матрица _____________________________.

2. Треугольной матрицей называется матрица вида _____________________.

21

1.		с	d				Б. det AT
							Г. det(−A)
		a	b				Д. det A + ac
		a	a + b
2.							Е. det A
		c	c + d				Ж.1
							К. − det A

3.						a	b
	Установить соответствие, если Б=							.
							d
						c
	Ответ: 1. _______, 2. _______.
4.	По	свойству		определителей,		если		один из	столбцов	есть
	линейная комбинация других столбцов, то _________________________.
5.	По	следствию		одного	из	свойств		определителей, если		все
	элементы		некоторого столбца			равны нулю, кроме одного элемента, то
	определитель равен _______________________________________.
6.	Минором k-го порядка матрицы					называется _______________________.
7.	Векторы		(матрицы)		называются			линейно	независимыми,

если _____________________.
8. Если AX = B -	система m линейных	неоднородных уравнений с
		__	= r , то имеет место
n неизвестными, для которой rangA = rang A
1. r=m	2. r=n		3. min(m,n) ≤ r ≤ max(m,n)
4.1 ≤ r ≤ min(m,n)			5. n ≤ r ≤ max(m,n).

9.По свойству элементарных преобразований ранг метрицы не изменится,

если _______________________.

10.Определитель обратной матрицы det A−1 равен

1. det(A−1A). 2. (det A)−1. 3. − detA -1. 4. det(AAT ) . 5. det(AT ).

22

a1 a2 a3

11. По свойству определителей разложение определителя b1 b2 b3 по

c1 c2 c3

второй строке имеет вид _________________________________________.

12.По теореме для существования обратной матрицы необходимо и достаточно ____________________. Доказательство._______________.

13. Суммой	матриц			0 1		2				и				2	3		1		является
			Б=									В =
				4 3 1										0 1 −1
матрица	вида: _______________.
						1			0	1					0		1
14. Произведением		матриц										и	В	=	0		1		является
				Б=	−1				1	0
															−1		0
матрица_______________.
						2
15. Произведением		матриц				0				и		В = (1		3	−1)				является
				Б=
						1
матрица___________________.
													1	3	1
												1
16. Величина		определителя										−1	0	1 0					равна
												1	0	1	0
												3	4	1	0
1. -2		2. 2				3. 8							4. -8						5. 0.
														1	1		3
17. Обратная	матрица		-1	к		матрице								−1	0				имеет
			A									Б=					1
														1	0		1

вид:_____________________.

23

					x + y + 3z = 7;
18. Используя	матричный способ	для	системы			+ z =3;
				− x
					x	+z =1,

получаем	решение ________________________.
				x + y −		z = 0;
19. Общее решение системы 2x − y + 2z = 0; имеет вид: _______________.
					+ z = 0
				3x
									x + 2 y −3z = 2;
20. Используя	метод			Гаусса		для	системы		− x	+ y + 2z =1;
									x	+ y − z =1,
получаем решение: ___________________.
					5.
	a		0	0 ...	0
		11	a22	0 ...	0
		0
1. Матрица вида .			.	. ...	.	называется _________________.
			.	. ...	.
	.
		0	.	. ...
					ann

2.Матрицы A и B называются перестановочными, если ______________.

3.По свойству определителей, если умножить все элементы некоторой строки на число λ ≠ 0 , то _____________________________________.

4.По свойству определителей, если одна из строк есть линейная комбинация других строк, то ____________________________________.

24

				b11	b12	b13
5. Минором	элемента	b12	определителя	b21	b22	b23
				b31	b32	b33

является ___________________________________.

6.По следствию одного из свойств определителя, сумма произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения

соответствующих	элементов		другой	строки
			Число решений AX = B
Условия
равна ___________________.

_ _

_

7.Векторы a1 ,a2 ,...,ak называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация вида: ____________________________________, равная_______________, при условии ______________________________.

8.Если в матрице размером m x n максимальное число линейно независимых столбцов равно k, то максимальное число линейно независимых строк этой матрицы равно _____________________________.

9.Обратная к матрице A матрица A-1 имеет вид ______________________.

10. Для системы AX = B с n неизвестными (A - матрица коэффициентов

__

при неизвестных, A - расширенная матрица) установить соответствие

1.	__	Б. Бесконечное множество
	rangA = rang A = n	Г. Нет решений
2.	__	Д. Единственное
	rangA < rang A	Ж.Равно n

25

Ответ: 1. _______,			2. _______.
11. Если	определитель матрицы А_____________________, то решение																	Х
системы линейных			уравнений		AX = B				равно
1. A B		2. A-1 B		3. B A-1					4. (A B)-1					5.(B A)-1.
12. По	теореме	о	базисном		миноре				всякий		столбец						матрицы
является ________________. Доказательство _____________.
13. Разностью		матриц				1 −1				и	В		0 −1				является
				Б=		2						=	4		1
								0
матрица_______________.
							1
										Б= (1		1)
14. Произведением матриц								и			0						является
				В = −1
							1
матрица___________________.
								1	1	0							2	1
15. Произведением			матриц				Б					и
								=						В = −1				0
									0
								1		−1								1
																	0
является матрица_______________.
									−1	1	1	2
16. Величина			определителя						1	−1	1	0					равна
									1	0	−1	0
									3	−1	2	0
1. -3.			2. 2.				3. 3.			4. 6.							5. -6.
															2		−1	1
17. Обратная		матрица		A-1			к		матрице						3		2	2
													Б=
															1		− 2	1

имеет вид:_____________________.

26

2x − y

+ z = 2;

18. Используя

метод

Крамера

для

системы

3x + 2 y + 2z = −2;

+ z =1,

x − 2 y

получим

решение ___________________.

3x + 2 y − z = 0;

19. Общее решение системы 2x − y

+ 3z = 0; имеет вид: _______________.

x + 3y + 4z = 0

x + 2 y − 4z =1;

20. Используя

метод

Гаусса

для

системы

2x + y

−5z = −1;

x − y

− z = −2,

получаем

решение: ___________________.

6.

1

0

0 ...

0

0

1

0 ...

0

1.

Матрица вида . . . ...

.

называется ____________________.

. . . ...

.

0 . . ...

1

a1

b1

c1

2.

Определитель

третьего

порядка

a2

b2

c2

вычисляется по

формуле __________________.

a3

b3

c3

3.

Установить соответствие, если

Б

a

b

=

, число - λ ≠ 0 .

c

d

27

Ответ: 1. _______,							2. _______.
4.	По		свойству					определителей, определитель произведения двух
	квадратных матриц А и В det(AB) равен__________________________.
5.	По		свойству					определителей	разложение	определителя
		с11	с12	с13
		с21	с22	с23			по третьему столбцу имеет вид ____________________.
		с31	с32	с33

6.

Базисным минором матрицы называется __________________________.

7.

Система уравнений AX = B называется неоднородной, если ___________.

Определители

Величина определителей

λa

λb

Б.

λ det A

1.

Г.

det(λA)

a

b

Д.

0

2.

b

a

λ

Ж. −det(λA)

К.

−λdet A

d

c

8.

Общее решение неоднородной системы AX = B

можно

найти как

сумму

вида__________________________________,

где

каждое

слагаемое- это ____________________, ______________________.

9.

Система

линейных однородных уравнений

AX =

с

n

неиз-

0

вестными, для которой

rang A = r ,

имеет

бесчисленное

множество

решений,когда

1. n < r

2. n = r

3. n > r

4. r ≤ n

5. r ≥ n.

10.Для того чтобы матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы________________________.

28

11. Если все определители неоднородной системы линейных уравнений

AX = B равны нулю (то есть	∆ = ∆x	= 0,i =1,...,n ), то система имеет
	i
1.Единственное решение.		2.Множество решений.
3.Нет решений.		4.Ровно n решений.

12.Формулировки всех свойств ранга матрицы таковы ___________.

Доказательство двух из них._______________________.

														0		1		2
13. Произведением	числа	λ = 3	на			матрицу				Б=				−1			0	1
														1		−1		1
является ______________________________.
				3		0	1									−1		0
14. Произведением	матриц	Б=							и				В =			1
				−1		1	0										−1
																0		1
является _______________.
			−1
15. Произведением	матриц	Б=					и						В = (2				0	1)
			−1
является ________________________.				1
					−1		4		−1	1
16. Величина	определителя					1	2		0	1							равна
						1	− 2		−1	2
						0	2		0	0
1. 7	2. 2	3. -2					4. 14									5. -14

29