Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

10.

Установить соответствие

Произведение векторов

Результат

А.

1

1.

Б. –1

i

j × k

В.

0

2.

j ×i k

Г.

3

Ответ:

1. ______, 2._______.

11.

Координаты

вектора

с = бa +в

(α, β - числа) через координаты

b

векторов a(a1,a2 ) и

(b1,b2 ) представляются

в виде _____________.

b

12.

Смешанное

произведение

a

с

через

координаты векторов

b

a(a1,a2 , a3 ) ,

(b1,b2 ,b3 ) и c(c1,c2 ,c3 )

равно _____________________.

b

Доказательство. ______________________________.

13.

Дана точка

A (2,-1,5)

и вектор

AB

Радиус-вектор точки B

=i

− j .

равен _____________________________.

14.

Радиусы-векторы точек A и B равны

OA

− k

, OB =

+ 2k .

=i

j

Проекция Пр

равна ___________________________.

OA

OB

15.Точки O(0,0,0) и D являются противоположными вершинами куба со стороной 1 и гранями, параллельными координатным плоскостям,

проекция Прk

OD

равна ____________________________.

16. Если a = 2k

−3

,

j

b =i

+ j + k , то вектор c = a ×b равен _________.

17.Даны точки O(0,0,0), A(-1,0,2), B(2,-1,0). Площадь треугольника ∆OAB

равна __________________________________.

18. Треугольник ∆ OAB с вершинами A(-1,0,2), B(2,-1,0), O(0,0,0)

проектируется на плоскость YOZ. Площадь проекции равна _________.

19.Если OABC – пирамида с вершинами O(0,0,0), A(-1,0,2), B(2,-1,0) и

С(0,0,1), то высота, опущенная из вершины C, равна _______________.

59

20. Разложение вектора i по базису из векторов a(2,−1,1) , b (0,2,0) и c(0,0,3) имеет вид _________________________________.

20.

1. Ортом вектора a называется ___________________________________.

2. Проекцией вектора a на вектор b называется ___________________.

3.

По геометрическому смыслу

скалярного произведения, a

b

равно __________________________________.

4.

Если вектора a и

ортогональны и

a

=

=1, то

a ×

равен _______,

b

b

b

а тройка векторов a ,

, a ×

является __________________________.

b

b

5.

Векторное

произведение

a ×a

равно ____________________________.

6.

Векторное

произведение

векторов

a = a2

+ a3k

и

b =b2

+ b3k

j

j

равно __________________________________.

7.

Смешанное произведение векторов

a

с

равно

b

1. (a ×

) ×c

2. a (

×c)

3.

a

×c

b

b

b

4. (a

) c

5.

a

(

×c) .

b

b

8.

Установить соответствие

Произведение векторов

Результат

А.

1

1.

Б.

–1

k

j

i

В.

0

Г.

i

2.

i

k i

Д.

j

Е.

k

Ответ: 1. ______, 2._______.

9.

Площадь треугольника ∆ OAB вычисляется по формуле

1.

1

×

2.

1

3.

1

4.

1

.

OA

OB

OA

OB

AB

OA

OB

OA

AB

2

2

2

2

60

10.

По свойству смешанного произведения

a(в

)c = б( a

с ), где

b

b

числа α и β такие, что

1. б =

в

2. б =в

3. б = −в

4. б =в3 .

11.

Для вектора

a(x, y, z) в ортонормированном базисе

i

, j , k скалярные

произведения

a i

, a

j , a k

соответственно равны ______________.

12.

Скалярное произведение через координаты векторов

a(a1,a2 , a3 )

и

(b1,b2 ,b3 )

вычисляется по формуле _________________________.

b

Доказательство. ______________________________.

13.

Радиус-вектор точки

A

равен

3i

+ j − 2k , а вектор

AB =i −3k .

Координаты точки

B

соответственно равны _____________________.

14.Если OA - радиус-вектор точки A(2,-2,1), то cos(OA , i ) равен _______.

15.Если OABC – ромб, а его вершины O(0,0,0), A(1,2,0), B(x+1,2,2)

C(x,0,2) и x > 0, то x равен _____________________________.

16.

Если a ×

b

,

то произведение

(3a + b ) ×(a + b ) равно ___________.

=i

17.

Длина вектора

a ×

равна S. Площадь параллелограмма, построенного

b

на векторах (2a −

)

и (a + 2

) ,

численно равна _________________.

b

b

18.Объем параллелепипеда, построенного на радиусах-векторах точек

A(0,2,-1), B(0,-1,3) и C(2,1,0), равен _____________________________.

19.Координаты вершин пирамиды OABC таковы : O(0,0,0), A(0,2,-1)

B(0,-1,3), C(2,1,0). Высота, опущенная из вершины O, равна __________.

20.Радиусы-векторы точек A(1,0,-1), B(2,-1,3) и C(-3,0,х) линейно зависимы, если х равно ____________________________.

61

3. ПАКЕТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДУЛЮ “АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”

21

1. Прямая, заданная уравнением Ax + By + C = 0 , имеет угловой коэффициент, равный _______________________.

2.Прямые A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 перпендикулярны, если имеет место соотношение ____________________.

3.

Угол

между

прямыми

y = k1 x + b1

и y = k2 x + b2

определяется по

формуле ___________________________________.

4.

Расстояние от точки M 0 (x0 ; y0 )

до прямой

x cos α + y sin α = p

(p>0)

равно _____________________________________.

5.

Если

плоскости

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

и

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

совпадают,

то

их

коэффициенты

удовлетворяют соотношениям _______________.

6.

Уравнение

плоскости,

проходящей

через

три

точки

M 1 (x1 ; y1 ; z1 ) ,

M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) , M 3 (x3 ; y3 ; z3 ) ,

не лежащие на одной

прямой, имеет вид _________________________.

7.

Геометрический

смысл

коэффициентов l, m, n в уравнениях

прямой

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

есть _______________________.

l

m

n

x = lt + x0

8.

Если

прямая

+ y0

и

плоскость

Ax + By + Cz + D = 0

y = mt

+ z0

z = nt

параллельны, то имеет место соотношение ________.

9.

Фокусы гиперболы

x

2

−

y

2

= −1

лежат на оси ________, а расстояние

a

2

b2

между ними равно ______________.

62

10.

Установить соответствие

Название поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

Однополостный

А.

x

2

+

y

2

−

z

2

= −1

гиперболоид

a2

b2

c2

2.

Гиперболический

Б.

x2

+

y 2

−

z 2

=1

параболоид

a2

b2

c2

В.

x2

+

y 2

−

z 2

= 0

a2

b

2

c

2

Г.

x 2

+

y 2

= 2z (p, q>0)

p

q

Д.

x 2

−

y 2

= 2z

(p, q>0)

p

q

Ответ: 1._______, 2._______ .

11.

Установить соответствие

Рисунки поверхностей

Уравнения поверхностей

(p>0, q>0)

1.

А. x = −2 py 2

Б.

y = −2qx 2

В.

x 2

−

y 2

= 2z

2.

p

q

Г.

x2

−

y 2

= −2z

p

q

Д.

x 2

+

y 2

= 2z

p

q

Ответ: 1._______, 2._______ .

12.Эллипсом называется ___________________________. Вывод его канонического уравнения _________________________.

13.Уравнение прямой, проходящей через точку M (1;1) перпендикулярно прямой x + 2 y −1 = 0 , имеет вид ________.

63

14. Две	прямые mx + 8y +10 = 0 и			2x + my −1 = 0	параллельны,
если	m	равно
1. 1.		2. –4.	3. ±4.	4. 4.	5. 0.

15. Расстояние	между	плоскостями	2x − 2 y + z −1 = 0	и
2x − 2 y + z + 5 = 0		равно
1. 6.	2. 2.	3. 3.	4. 4.	5. 5.

16.Плоскость проходит через точку M (6;−10;1) и пересекает ось абсцисс в точке a = −3, а ось аппликат в точке c = 2 . Уравнение “в отрезках” этой плоскости имеет вид ________.

x + 2 y + z
17. Прямые	− y	+ z + 1
2
если l равно
1. 1.		2. 2.

18.Уравнение плоскости,

L1 : x 2−1 = y−+32 = z −4 5 ,

= 0	и	x − 3		=	y −1	=	z − 7	перпендикулярны,
= 0					4
		l					l
			3. 3.				4. -2.		5. -1.
проходящей					через		прямые L1 и L2		, где
	x =		3t		+ 7
			2t		+ 2 , имеет вид ________.
L2 : y =
		= − 2t			+ 1
	z

19.	Уравнение		директрисы параболы			y 2 = 24x	имеет вид ________.
20.	Уравнения асимптот гиперболы 16x 2 − 9 y 2 = −144 имеют вид ________.
				22.
1.	Уравнение		прямой,	проходящей		через точку		M 0 (x0 ; y0 )
	перпендикулярно вектору n ( A; B) ,					имеет	вид ________.
2.	Если	две	прямые	y = k1 x + b1	и	y = k2 x + b2	перпендикулярны,
	то их угловые коэффициенты удовлетворяют соотношению ________.
3.	В	уравнении		прямой	x cos α + y sin α = p			(p>0)	α
	является углом между ________.
64

4.	Уравнение	Ax + C = 0	в пространстве задает ________,
	перпендикулярную оси _________________.
5.	Нормальное	уравнение	плоскости имеет вид ___________________.

6.Расстояние d от точки M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

вычисляется

по

формуле _____________________.

7.

Параметрические

уравнения прямой,

проходящей

через

точку

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

параллельно вектору

a(l, m, n) ,

имеют

вид ________.

8.

Угол

между

двумя

прямыми

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

и

n

l

m

x − x2

y − y2

z − z2

1

1

1

=

=

вычисляется

по

формуле ______________.

l2

m2

n2

9.

Уравнение

директрисы

параболы

x 2 = 2 py

(p>0)

имеет

вид

_______________________________.

10.

Установить соответствие

Название поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

Эллипсоид

А.

x

2

+

y

2

+

z

2

= 0

2.

Гиперболический

a2

b2

c2

x

2

y 2

цилиндр

Б.

+

=1

a2

b2

В.

x2

+

y 2

+

z

2

=1

a

2

b

2

c

2

Г.

x2

−

y 2

+

z

2

=1

a

2

b

2

c

2

Д.

x2

−

y 2

=1

a

2

b

2

Ответ: 1._______, 2._______ .

65

11. Установить соответствие

Рисунки поверхностей

Уравнения поверхностей

(p>0, q>0)

1.

А. y 2 = 2 pz

Б.

x2

+

y 2

= 2z

p

q

В.

x 2

−

y 2

= 2z

p

q

Г.

x2

+

y 2

−

z

2

= 0

2.

a2

b2

c

2

Д.

x2

−

y 2

−

z

2

= 0

a2

b2

c

2

Ответ: 1._______, 2._______ .

12.Гиперболой называется ________. Вывод канонического уравнения гиперболы ____________________________________________________.

13.Уравнение прямой, проходящей через точку M (2;1) параллельно прямой

2x + 3y + 4 = 0 , имеет вид ________.

14.Уравнение “в отрезках” прямой, проходящей через точку M (3;7) и

отсекающей на положительных координатных полуосях отрезки одинаковой длины, имеет вид ________.

15.Расстояние d между прямыми 3x − 4 y −10 = 0 и 6x −8y + 5 = 0 равно

	1. 1	2. 2					3. 3		4. 1,5	5. 2,5.
16.	Плоскости x + y + z + 2 = 0 и Ax − 2 y + Az + 3 = 0 перпендикулярны,
	если A равно
	1. 1	2. 2					3. -1		4. 0	5. -2.
17.	Прямая	x −1		=	y	=	z + 2		перпендикулярна	плоскости
		l					n
				3
	4x + 6 y + 2z +1 = 0, если						l и n соответственно равны ___________.
66

18. Канонические уравнения прямой	x − 2 y + 3z	= 0	имеют
		= 0
	3x + 2 y − 5z − 4

вид ____________________.

19.

Расстояние

между

фокусами

F1 (−c,0)

и

F2 (c;0)

эллипса

2c = 6 ,

а

эксцентриситет

равен 0,6.

Каноническое

уравнение

эллипса имеет вид _________________________.

20.

Даны

фокус

параболы

F(−7;0)

и

уравнение

директрисы

x − 7 = 0 .

Уравнение

параболы

имеет

вид ____________________.

23.

1.

В уравнении

прямой

Ax + By + C =0

коэффициенты

A

и B

- это координаты вектора ___________________.

2.

Уравнение

прямой

с

угловым

коэффициентом

k,

проходящей

через точку M 0 (x0 ;y0 ) , имеет вид ________.

3.Геометрический смысл p в уравнении прямой x cos α + y sin α = p (p>0)

есть ________.

4.Общее уравнение плоскости имеет вид ____________________________.

5.	В	уравнении		плоскости	x cosα + y cosβ + z cosγ = p	(p>0)
	вектор		(cos α; cos β; cos γ)		является _________________________.
6.	Если		плоскости		A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0	и
	A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 перпендикулярны, то их коэффициенты
	удовлетворяют соотношению __________________.

7.Геометрический смысл коэффициентов l, m, n в уравнениях прямой

x	= lt	+ x0
			есть __________________________.
y = mt + y0
	= nt	+ z0
z

	8. Прямые	x − x0	=	y − y0	=	z − z0
		l0		m0		n0
	совпадают,	если		выполняются

иA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

соотношения ________________. 67

9.

Эксцентриситет ε эллипса

x2

+

y 2

=1

равен ________________.

a2

b2

10.

Установить соответствие

Название поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

Двуполостный

А.

x

2

+

y

2

−

z

2

= 0

гиперболоид

a2

b2

c2

2.

Пара параллельных

Б.

x2

+

y 2

−

z 2

=1

плоскостей

a2

b2

c2

В.

x2

+

y 2

−

z 2

= −1

a 2

b2

c2

Г.

x2

−

y 2

= 0

a2

b2

Д.

x2

=1

Ответ

a2

: 1._______, 2._______ .

11.

Установить соответствие

Рисунки поверхностей

Уравнения поверхностей

1.

А.

x

2

+

y

2

−

z

2

= 0

a2

b2

c2

Б.

x2

+

y 2

−

z

2

=1

a2

b

2

c

2

2.

В.

x2

+

y 2

−

z

2

= −1

a 2

b

2

c

2

Г. y 2 = 2 pz (p > 0)

Д. z 2 = 2qy (q > 0)

Ответ

: 1._______, 2._______ .

12.Расстояние d от точки M 0 (x0 ; y0 ) до прямой x cos α + y sin α = p (p>0) вычисляется по формуле ________. Доказательство _________________.

68