Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

17.

lim

1 + cos 2x

равен ___________________________________.

x→π

2

sin 2x

18

lim (

cos 2x )ctg 2 x

равен

x→0

1. 1

2. e

3. e

4. e2

5.1/e.

x

,

если

x ≠ 0,

19.

Функция

будет

непрерывной в

f (x) = ln(1 − x)2

если

x = 0,

A,

точке

x = 0 при A, равном ______________________________.

20.

Для

функции y =

sin x

в

точке

x = 0 односторонние

пределы

sin x

равны __________________ и __________________, точка x = 0 является

точкой разрыва ________________________ рода . (какого?)

40.

1. Множество X ограничено снизу. По определению, точная нижняя грань ( inf Х) - это ______________________________.

2. По	определению, предел последовательности {αn }∞n=1	равен
A ( lim an = A ), если _______________________________.
n→∞
3. Если	последовательность {αn }∞n=1 такова, что интервал	(-M, M)

при любом M содержит только конечное число членов последовательности, то ее предел _______________________________.

109

4. Если

lim b

= B , lim c

= C

(

B

,

C

< ∞ ), то предел

последовательности

n→∞ n

n

→∞

n

{bn −cn }∞n=1 __________________________________.

5.

Если

последовательность

{αn }

бесконечно

малая,

а

последовательность

{bn }

ограничена,

то последовательность

{an bn }∞n=1

(n=1,2,...) является

___________________________________.

6.

Если

функция y = f(x) определена на [a,b], а

обратная

к

ней функция

x = f −1(x) определена на [c,d], то множеством значений функции y = f (x)

является ______________________________________.

7.

По определению, lim

f (x) = +∞ , если ____________________________.

x→∞

8.

Если

существуют пределы

lim

f (x) и

lim

f (x) = A и функция y=f (x)

x→a−0

x

→a+0

непрерывна в точке a, то A равно___________________________________.

9.

Вторым замечательным пределом называется _______________________.

10.

Если

функция f(x)

бесконечно большая при x → ∞,

а lim g(x) = B ,

x→∞

B

< ∞, то функция f(x)+g(x) является______________________________.

11.

По определению,

функция

y = f(x)

непрерывна в точке

x0

слева ,

если _______________________________.

12.

Если существуют

пределы

lim

f (x) = y0

,

lim F( y) = A и, причем

x→x0

y→y0

f(x) ≠ y0

при x ≠x0 ,

тогда

предел

сложной

функции

F(f(x))____________________. Доказательство:______________________.

13.

Десятый член последовательности

1 ∞

равен __________________.

lg

n n=1

110

14.

lim (n − 2)

n −1

равен

n→∞

2 n3 +1

1. 1

2. 0,5

3. 0

4. -1

5. ∞.

15.

lim (

n2 +1 −

n2 −1)

равен ____________________________________.

n→∞

16.

lim

x2 +3x − 4

равен

x2 −1

x→1

1. 1

2. 2

3. 3

4. 2,5

5. ∞.

17.

lim

arctg 3x

равен _________________________________________.

x→0

sin 2x

18.

tg x +1

2 tg x

lim

равен

x→π 2 tg x + 2

1. 1

2. 1/ e2

3. 1/e

4. e

5. ∞.

3x

−1

19.

Функция

x

,

если

x ≠ 0, будет непрерывной в точке x = 0

f (x) =

если

x = 0,

A,

при A, равном _______________________________.

20.

Для функции

y = arctg 1

в

точке x = 0

односторонние

x

пределы равны ________________ и _________________, точка x = 0 является точкой разрыва ___________________________рода.

(какого?)

111

5.ПАКЕТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДУЛЮ

“ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ

ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ ”

(часть 1)

41.

1.

Если функция

y=f (x) определена на (а , b), х0 (а, b), то ее приращение

∆ f в точке х0 вычисляется по формуле ________________.

2.

Если

f (x)

и

g(x)

определены

на (а , b)

и f ' (x) –

g' (x) =0,

то

между

функциями

f (x) и

g(x)

имеет

место

соотношение________________________________.

3.

Если у = c

(u(x) + v(x)) , (с – const ), то у' равна _____________________.

4.

Если

функция

y = f (x)

в

точке

х0

имеет конечную

производную

y' = f ' (x0 ) , то приращение

∆f можно представить в виде __________.

5. Если существует конечная

производная

f ' (x0), то уравнение касательной

к

графику

функции

y = f (x)

в

точке

(х0, f (х0))

имеет

вид____________________________.

6. Линейная

часть

А ∆ х

приращения

функции

y = f (x)

называется

____________________.

7.Производная сложной функции z = f (g(x)) вычисляется по формуле

_______________________.

112

8. Установить соответствие

Функции

Производные n – го порядка у(n)

1.

y = a1−x

А.

a1−x · (ln a)n

2.

у = ln 3x

Б.

(-1) n · a1−x · (ln a) n

В.

– a1−x · (ln a) n

Г.

(n -1) ! · 3n

xn

Д.

(-1)n · (n - 1)!

xn

Е.

(-1) n-1 · (n - 1)!

x n

Ответ: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие

Функции

Производные y'

1.

у = arcsin u (x)

А.

1

1

1 - (u'(x))2

2.

у =

u'(x)

u( x)

Б.

-

1 - (u(x))2

В.

u' ( x)

1- (u(x)) 2

Г.

- 1

(u' (x))2

Д.

u' ( x)

(u(x))2

Е.

- u' ( x)

(u(x))2

Ответ: 1._______, 2._______ .

113

10.	По	теореме,	для	того		чтобы	функция			f (x)	была
	дифференцируема		в некоторой			точке х0, необходимо и достаточно,
	чтобы _______________. Доказательство ________________________.
11.	Если y = x2 + 2x ;		х0 = 0,2,		то	приращение		∆y	равно
	1. 0,44	2. – 0,44			3.	0,36		4.	–0,34		5. 0,4

12.Если y = cos 2x + 4- x + 2х · 3x , то y' равна ______________________.

13.

Если

y = x2 · arctg 3х,

то y'

равна

1.

6х

3.

2x · arctg 3х +

3х2

1 + 9х2

1 + 9х2

2.

3х

4.

2x · arctg 3х+

3х2

1 - 9х2 .

1 + 9х2

14.

Если

y = x x , то

y'

равна

1.

x x

2.

x x ln x

3. x x-1 ln x

4.

x x ( ln x + 1)

15.Если f (x) = x14 + 2 , то уравнение касательной к графику

функции f (x) в точке М (1,3) имеет вид ___________________.

16.

Если

функция y =

x

,

то

y'(x0 )

не существует

при

x0 ,

Равном _________________________.

17.

Если

e y + xy = e ,

то

y'

равна

1.

e y

2. –

y

3.

y

4.

e y+ x

x

y .

e y + x

e y + x

114

18. Если	x = 2-t
	y = log2 3t , то y'x равна ___________________________.

42.

1.По определению, функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x0 , если _________________.

2.По геометрическому смыслу, производная есть ______________________.

3.	Если y = c · u(х) · v(х) , (с – const), то y"				равна ______________________.
4.	Если	y = f (x)	в точке x0	имеет	конечную	производную, то в
	этой	точке	функция
	1. Разрывна		2. Равна 0	3. Непрерывна		4. Постоянна.

5.

Пусть

функция

y = f (x)

непрерывна

в

точке

x0 .

В

точке

(x0 , f (x0 ) )

существует наклонная

касательная

к графику

функции

y = f (x )

тогда

и только тогда,

когда производная f ' (xО )

1. Бесконечна

2. Конечна ( ≠ 0)

3. Не существует

4. Равна 0.

6.

Если

приращение

функции

y = f (x)

в

точке

x0

представимо в

виде

∆y = А· ∆x

+ α (∆x)

,

где

А - const, α (∆x)

– бесконечно

малая, то функция

y = f (x) называется ____________________.

7. Инвариантность формы первого

дифференциала

состоит

в том,

что _____________________.

115

8. Установить соответствие

Функции

1. y = sin 2x

1

2. y = (x +1)2

Ответ: 1._______, 2._______ .

9. Установить соответствие Функции

1.y = th u(x)

2.y = u(x)

Ответ: 1._______, 2._______ .

А.

Б.

В.

Г.

Д.

Е.

А.

Б.

В.

Г.

Д.

Е.

Производные n-го порядка y(n)

π

cos (2x + n · 2 )

2ncos (2x + n · π2 ) 2nsin (2x + n · π2 )

(-1)n · (n + 1)! (x + 1)n + 2

(-1)n · n!

(x + 1)n + 2

(-1)n +1 · (n + 1)! (x + 1)n + 2

Производные y'

u' (x)

ch2u(x) 1

ch2u(x)

u' (x)

– ch2u(x) 1

2 u' (x) u'(x)

2u(x)

-u'(x) u(x)

116

10. Формулировка теоремы о производной обратной функции такова

_____________________. Доказательство ____________________.

11. Если

y = x2 + 2 ; x0 = 1 ;

∆х= 0,5,

то

приращение

∆y

равно

1. –1,25

2. 1,25

3. 0,75

4.

–0,75

5. 2,25.

12. Если

y = 2−x + 2 · log 4 x – ln x, то

y'

равна ____________________.

13.

Если

y = e2x · sinx ,

то

y'

равна

1. e2x

· (2 sin x + cos x)

2.

2 e2x · cos x

3. e2x · (2 sin x - cos x)

4.

e2x · ( sin x + cos x).

14.

Если

y = x x / 2 , то

y'

равна

1.

1

· x x / 2

2.

1

· x x / 2

· ln x

2

2

3.

1 · x( x / 2) +1

4.

1

· x x / 2

(ln x + 1) .

2

2

15. Касательная к графику функции

y = x3 - 1

в

точке

М(2;7)

имеет

вид _______________________.

16. Если y

= | x - 1 |, то

y'

не

существует при х, равном__________.

17. Если cos y + 2xy = 1,				то y'
1.	2 y	2.	2x - sin y
	2x - sin y			2 y

	равна
	3.	sin y - 2x	4.	2 y
		2 y		sin y - 2x

18. Если	x = cos 2· t , то y'x равна _____________________________.
	y = t - 3 - t

117

43.

1.

По определению,

производной

функции

y = f (x)

в

точке

x0

называется ________________________________.

2.

Механический

смысл

производной функции

S=S (t) -

это

1. ∆S

2.

∆t

3.

lim

∆S

4.

lim

∆S

∆

∆

∆

∆t

∆t→0

∆S →0

t

S

t

3.

Если

y = с

u(х)

,

с – const,

то

y'

равна ________________________.

v(х)

4.

Если

функция

y = f (x)

в

точке

x0

имеет

конечную

производную

y' = f ' (xО ) , то приращение ∆f можно

представить в

виде

1. ∆f (xО ) = α · ∆x ,

2. ∆f (x0 ) = ∆f ' (xO )· ∆x - α· ∆x ,

3. ∆f (xО ) = f ' (xO ) · ∆x ,

4. ∆f (xО ) = f ' (xO ) · ∆x + α ∆х,

где

α_______________________.

5.

Если

существует

конечная

и

отличная от 0 f ' (xО ) , то уравнение

нормали к

графику

кривой

y = f (x)

в

точке

M (x0 ; f (x0 ))

имеет вид __________________.

6.

Дифференциал

четвертого

порядка

d 4 y

функции

y = f (x)

вычисляется

по

формуле _________________.

7. Логарифмическая	производная	функции	y = (u(x))v( x)	имеет
вид ________________________.

118