Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]
.pdf9.Для компланарности трех векторов a , b , с , необходимо и достаточно, чтобы __________________________.
10. |
Если |
для |
ненулевых |
|
|
|
векторов |
a |
|
|
и |
|
b |
|
проекция Прa |
b |
= 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
то |
векторы |
a и |
|
|
_____________________________. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
Если (л1,....,.лn ) |
- |
координаты |
|
вектора |
|
|
a |
в базисе |
|
e1,.....,en |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пространства |
Rn , |
то |
|
|
|
|
разложение |
|
|
вектора |
|
|
a |
в |
|
этом базисе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
имеет |
вид ___________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
Представление |
скалярного |
|
произведения |
|
|
через |
|
координаты |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
векторов |
a(a1,a2 , a3 ) |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
(b1,b2 ,b3 ) |
|
равно ____________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Доказательство. ________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13. |
Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогональны, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a = бi |
+ 3 j + 2k |
|
|
b =i + 2 j − бk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
если |
α |
равно ____________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
Работа, |
производимая |
|
|
силой |
|
|
(3,−2,−5) |
|
при |
прямолинейном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
перемещении |
тела |
|
из |
|
|
|
|
точки |
|
|
A(2,-3,5) в точку |
|
|
B(3,-2,-1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
равна ________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
Если |
|
вектор |
|
|
|
a(4,−3,0) , проекция |
Прa |
|
= 5, |
то |
скалярное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
произведение |
a |
|
|
равно ___________________________. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
Координаты |
|
векторного |
произведения |
|
|
векторов |
|
|
a(1,1,0) |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(0,1,0) |
равны ___________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
Даны |
|
точки |
|
A(2,1,2); |
B(2,2,2); |
|
|
C(3,2,2) . Площадь треугольника |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∆ ABC |
равна _________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
Смешанное |
|
произведение |
векторов |
a(−1,0,2) , |
|
|
|
(0,2,5) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c(0,0,−2) равно ___________________________________. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
Разложение |
вектора |
|
|
|
(2,2,1) |
|
по |
|
|
|
базису |
векторов |
|
|
a(1,1,0) , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(0,1,1) |
|
и |
c(1,0,0) имеет вид _________________________________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
Векторы |
|
a(1,1,0) ; |
|
|
|
|
|
( 0,1, x ) |
и |
c(1,0,1) |
|
|
|
линейно |
|
|
зависимы, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
если |
х |
равно ___________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
49
15.
1. Направляющие косинусы вектора a(a1,a2 , a3 ) выражаются через его координаты по формулам __________________________________.
2. |
Вектор |
|
|
BD |
|
|
через векторы |
AB |
и |
|
AD |
можно представить в виде ____. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Если векторы a(a1,a2 ,a3 ) |
и |
|
|
|
(b1,b2 ,b3 ) |
имеют равные длины ( |
|
a |
|
= |
|
|
|
|
), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
то их координаты удовлетворяют соотношению _____________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Проекция Прa |
|
|
|
|
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1. |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
2. |
|
|
b |
|
cos(a , |
b |
) |
|
|
|
|
|
3. |
|
a |
cos(a , |
b |
) |
|
|
|
|
4. |
a |
sin(a , |
b |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Скалярное |
|
|
произведение |
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a = a1i |
+ a2 j + a3k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
+ b3k |
|
|
через |
их координаты |
равно ___________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
=b1i |
j |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Угол между единичными векторами |
a |
и |
|
равен ϕ . Длина вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a × |
|
|
|
равна _________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Векторы |
|
|
a × |
|
, |
a , |
|
|
( a |
и |
|
не |
коллинеарны) |
|
|
являются |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
b |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
Компланарными . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Правой тройкой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
|
Левой тройкой . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Линейно зависимыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
Если |
векторное |
произведение |
|
|
ненулевых |
векторов |
равно |
нулю, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
то векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1. |
|
Ортогональны. |
2. |
Коллинеарны. |
3. |
Линейно независимы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Если скалярное произведение единичных векторов a |
|
|
равно нулю, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
то |
|
Прa |
|
равна _________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. По свойству циклической (круговой) перестановки векторов, смешанное произведение a b с равно ____________________________________.
50
11. . Установить соответствие
Произведение векторов |
Результат |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
i |
× j |
|
|
j |
|
|
|||||||
2. |
|
|
|
|
В. |
|
|
|
|||||
|
|
×k |
|
k |
|||||||||
i |
Г. 0
Д. 1 Е. - j
Ж. -i
Ответ: 1._______, 2._______.
12. По свойству смешанного произведения для того, чтобы векторы
a , |
b |
, с были линейно зависимы, необходимо и |
достаточно, |
||||||||||
чтобы _________________. Доказательство. ________________________. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то вектор |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Если вектор a =i |
− 2 j + k , и Прa b = -1, b || a , |
bравен _____________________________________.
14.Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1,-2,3), B(3,2,1) и C(6,4,4). Координаты четвертой вершины соответственно равны ___________________________________.
15. |
Вектор |
|
|
a |
составляет |
с |
осями |
OX |
и OY |
углы 60° и 120°, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно и острый угол с осью OZ. Угол ( a , k |
) |
равен ________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a =3k |
+ 2 |
|
|
, |
|
|
|
|
b = 2 |
|
|
|
, |
то |
|
координаты |
|
|
|
|
|
вектора |
|||||||||||||||||||||||||||
j |
j |
−3i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= a × |
|
соответственно равны _______________________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
Если |
вектор |
с ортогонален векторам |
a(0,2,3) |
и |
|
|
|
|
|
(−3,2,0) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
=1, |
а угол (c , |
j |
) - острый, то вектор |
с |
равен __________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
Если |
векторы |
|
|
|
|
a , |
|
|
, |
с |
образуют |
левую |
тройку, |
|
a |
|
= |
|
|
|
|
=1, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c |
|
= 2 , |
|
|
угол |
( a , |
|
|
) |
= |
|
π/3, |
|
|
c |
a , |
c |
|
, |
то |
смешанное |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
произведение |
a |
|
с |
|
|
|
равно ___________________________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
51
19.Точки O(0,0,0), A(1,0,0), B( 12 , 23 ,0 ) и С(0,0,2) являются вершинами пирамиды OABC. Высота, опущенная из вершины A, равна __________.
20. Даны точки A(1,-2,3), B(3,2,0), C(x,-4,0), O(0,0,0). Векторы AB , AC и OC линейно зависимы при x равном ___________________________.
16.
1. Если |
|
a |
|
|
|
|
|
|
- длина вектора |
a(x, y, z) , а угол (a , i |
) = |
α, |
то координата x равна _________________________________.
2. Разностью двух векторов a и b называется ______________________.
3. Если точки B и C принадлежат прямой l , то векторы AB и AC коллинеарны тогда и только тогда, когда точка A _________________.
4. |
Скалярное произведение |
a |
|
|
|
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
a |
|
Прa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
Прa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
sin(a , |
b |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пр |
|
|
|
a . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Для |
|
|
вектора |
|
|
|
|
a(x, y, z) в |
|
|
|
ортонормированном |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,k |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
базисе (i |
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
скалярные |
|
|
|
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a i |
, a |
j |
|
и a k |
соответственно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
равны ________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Если |
|
|
a |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
a × |
|
|
|
= 1, то |
a |
|
равно _________________________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Неколлинеарные векторы |
a , |
|
|
|
и вектор |
c = |
|
×a |
являются |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
Компланарными . |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
Правой тройкой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
Левой тройкой . |
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
Линейно зависимыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
Векторное |
произведение |
|
|
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a = б1i |
+ б2 j + б3k |
|
|
|
|
|
|
b =b1i + b2 j + b3k через их координаты равно _____________________.
52
9. |
Смешанное |
|
|
произведение |
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a = a1i |
, b =b2 j + b3k и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c = c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ c3k |
|
|
|
|
равно ________________________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
Установить соответствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
V – объем пирамиды |
|
|
Величина, связанная с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведением векторов |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
1 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
×c |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В. |
1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ___________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11. |
Установить соответствие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Произведение векторов |
|
|
Результат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
j |
×i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2. |
k j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1. ______, 2._______.
12.По свойству скалярного произведения, (a + b ) c равно ____________.
Доказательство. ______________________________.
13. |
Если радиусы-векторы точек A(1,4,3) и B(-2,y,-6) коллинеарны, |
|||
|
то координата y равна |
_____________________________________. |
||
14. |
Если радиус-вектор точки |
A образует равные острые углы с осями |
||
|
координат, OA = 2 3 , то |
Прi |
|
равна ________________________. |
|
OA |
15. Если вектор |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ k |
, |
b |
= 2, а угол (a , b ) = 60 o , то |
|||||||
a = 2i |
j |
скалярное произведение a b равно ______________________________.
53
16. Момент силы F =i − j + 2k , приложенной к точке A(2,0,1),
относительно точки O(0,0,0) равен _____________________________.
17. Если площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна S, то площадь параллелограмма, построенного на векторах
a + |
b |
и a - |
b |
, равна ________________________________. |
18. Даны |
точки |
|
A(1,0,0), B(0,2,0) и C(0,0,3). Площадь треугольника |
∆ABC равна ______________________________________.
19.Вершинами треугольной пирамиды являются точки O(0,0,0),
A(1,0,0), B(0,2,0) и C(0,0,3). Объем пирамиды равен _______________.
20.Радиусы-векторы точек A(2,0,1), B(1,-1,2) и C(х,0,3) линейно зависимы при х , равном _______________________________________.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
По определению два вектора |
|
a |
|
и |
|
|
|
|
|
|
равны, если ________________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Векторы |
|
a и |
|
|
называются коллинеарными, если _______________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
По свойству проекции Прa ( |
|
+ c) равна _________________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Суммой векторов |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
является вектор _________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB |
BC |
CA |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Если векторы |
a |
и |
|
|
|
|
коллинеарны и противоположно направлены, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
то скалярное произведение |
a |
|
|
равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. - |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. 0 |
4. |
|
|
|
|
|
Прa |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
Если a 2 = |
|
2 =1 |
и |
|
a |
|
=0, то |
|
a × |
|
|
|
|
равен _____________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
b |
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Векторы |
|
a , |
|
, с |
образуют левую тройку, |
если ___________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
8.Если смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы являются _________________________________.
9. По свойству смешанного произведения разность a b с - с a b
равна __________________________________.
54
10. Установить соответствие
Произведения векторов |
Результат |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
j |
||||||||
×i |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
k |
||||||||
|
|
×k |
|
Г. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
j |
|||||||||||||||
|
|
-i |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Д. - |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Е. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Ответ: 1. ______, 2._______.
11.Тройка векторов e1,e2 ,e3 образует базис, если ____________________.
12.По утверждению о геометрическом смысле смешанного произведения это произведение есть ______________. Доказательство. _____________.
13. Даны точки A(-1,2,4), O(0,0,0) и вектор AB = −2OA. Координаты точки B соответственно равны __________________________________.
14. Даны точки A(0,-1,3) и B(1,0,-2). Проекция Пр j AB равна __________.
15.В треугольнике AOB угол AOB прямой, а координаты вершин
O(0,0,0), A(1,0,2), B(x,-1,3). Тогда x равен ________________________.
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
||
16. Если |
a |
= 2 , |
|
b |
|
=1, а угол |
(a , |
b |
) = |
, то |
(a + 2 |
b |
) ×(2a + |
b |
) |
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен ________________________________. |
17.Момент равнодействующей двух сил F1(−3,1,0) и F2 (1,0,−2) ,
приложенных к точке O(0,0,0), относительно точки A(1,-1,1)
равен ________________________________.
18.Точка C(x,-1,0) принадлежит плоскости, проходящей через точки
O(0,0,0), A(4,1,0) и B(-2,3,3), при x, равном ______________________.
55
19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах |
a , |
b |
, с , равен V. |
||||
Объем параллелепипеда, построенного на векторах |
( a + |
|
), ( |
|
+ с ) и |
||
b |
b |
( a + с ), равен _____________________________________.
20.Даны точки O(0,0,0), A(1,-1,1), B(-2,1,-2) и C(3,2,0). Высота пирамиды OABC, опущенная из вершины C, равна _________________________.
18.
1. Если вектор a составляет с вектором j угол β и a =1, то Пр j a равна ______________________________.
2.Радиусом-вектором точки A называется ___________________________.
3.Точки A, B, C принадлежат плоскости P. Векторы AB , AC и BD
компланарны тогда и только тогда, когда точка D ________________.
4. Установить соответствие
Произведение векторов |
Результат |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
0 |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
1 |
||
i |
i |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В. |
–1 |
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
Г. |
2 |
||
i |
j |
Д. |
– 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
Ответ: 1. ______, 2._______. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. |
Модуль |
|
|
|
векторного |
произведения |
|
a × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен |
||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Прa |
b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
sin(a , |
b |
) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. |
|
a |
|
|
|
|
|
cos(a , |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
Пр |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
а |
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
Векторы |
a , |
|
, с образуют правую тройку, если _________________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Векторное |
|
произведение |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
векторов a = a1i |
+ a2 j |
|
|
b =b1i + b2 j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
равно __________________________________. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
8. Смешанное |
|
произведение |
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a = a1i |
+ a2 j , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
b |
и с = с3k |
равно _________________________________. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
=b1i |
+ b2 j |
|||||||||||||||||||||||||||||
9. Ненулевые векторы ортогональны, если равно нулю произведение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. a |
|
|
2. a × |
|
|
3. a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
5. (a b )k |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
4. (a ×b ) j |
10.По распределительному свойству смешанного произведения, выражение
( a , b , c1 + c2 ) равно _____________________________.
11. Если |
a = k1 e1 +... + kn en , где |
e1,...,en - базис векторного пространства |
|
Rn , |
то коэффициенты k ,...,k |
n |
являются ________________________. |
|
1 |
|
12. По распределительному свойству векторного произведения выражение
(a + b ) ×c равно _______________. Доказательство. ________________.
13. Даны точки A(-2,1,3) и B(2,0,4). Тогда вектор AB равен __________.
14. Если a = 4 , Прi a =1, Пр j a = −3, то (Прk a)2 равна ______________.
15.Если треугольник ∆ AOB - равносторонний, а его вершины A(1,0,0),
O(0,0,0), B(x,y,z), то x равен ____________________________________.
16. Если (a + b ) ×(a −b ) = j , то вектор a ×b равен __________________.
17.Площадь треугольника ∆ OAB с вершинами O(0,0,0), A(-1,2,0) и
B(1,3,1) равна ___________________________________.
18.Точки O(0,0,0), A(-1,2,0), B(1,3,1) и C(2,1,0) являются вершинами пирамиды OABC. Высота, опущенная из вершины C, равна ________.
19. |
Объем параллелепипеда, построенного на векторах |
a , |
b |
, с , равен V. |
||||||||||||
|
Объем |
параллелепипеда, |
построенного |
на |
векторах |
|||||||||||
|
( a + |
|
), |
( a - |
|
) , с |
равен ___________________________. |
|
|
|
|
|
||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|||||||||
20. |
Даны точки O(0,0,0), |
A(х,1,0), B(2,-1,0) и C(1,2,3). Векторы |
|
, |
|
|
||||||||||
OA |
AB |
и BC линейно зависимы при х, равном _________________________.
57
19.
1.Модуль вектора a(a1,a2 , a3 ) через его координаты определяется равенством __________________________________.
2.По свойству проекции, Прa (kb ) равна
|
1. |
k |
|
Прa |
b |
2. k Прa |
b |
|
|
|
|
3. |
k Пр |
|
|
a |
4. |
- k Прa |
b |
|
|
|
|
|
|
5. |
|
Прa |
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Проекция |
вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
где A( x1, y1, z1 ), |
B( x2 , y2 , z2 ), |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
оси |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
OX, OY и |
OZ соответственно равны ___________________________. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Ненулевые вектора |
|
a и |
|
коллинеарны, если равно нулю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. a × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. a 2 − |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
По свойству скалярного произведения, |
|
a 2 равен _________________. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Синус угла между векторами |
a |
и |
|
|
|
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
b |
2. |
|
|
3. |
b |
|
|
|
4. |
|
5. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
a ×b |
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
a ×b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
По |
свойству векторного |
произведения |
|
a × |
|
= k( |
|
×a) , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kравно ______________________________.
8.Установить соответствие
Произведение векторов |
Результат |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
j |
|
|||||||||
|
j |
|
×i |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
×k |
||||||||||||||||||
|
-i |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Д. |
|
- |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Е. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
- k |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ж. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Ответ: 1. ______, 2._______.
9. Смешанное произведение a b с равно
1. a Прa (b ×c) 2. c Прa (a ×b ) 3. а Прc (a ×c) 4. a b c .
58