- •2. Объектами гидромеханики являются капельные и упругие (газы) жидкости.
- •Глава I. Основы гидростатики
- •Глава 2. Основы гидродинамики
- •2.1. Основные уравнения кинематики и динамики невязкой жидкости
- •Уравнение неразрывности (сплошности, постоянства расхода)
- •3.2. Дифференциальные уравнения движения жидкости
- •Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса
- •Теорема жуковского о подъемной силе и направлении движения вихрей
- •Принцип подобия, как основа физического моделирования однофазных систем.
- •Закон сопротивления при движении однофазного потока
- •Основы теории гидравлических сопротивлений
- •2. Основное уравнение равномерного движения
- •3. Основной закон вязкого сопротивления
- •4. Касательное напряжение
- •5. Закон распределения скоростей при турбулентном движении.
- •Способы определения потерь напора при равномерном турбулентном движении
- •Местные сопротивления.
- •Лекция № 12 Истечение жидкости из отверстий
- •1. Истечение в атмосферу при постоянном напоре через малые отверстия в тонкой стенке
- •2. Истечение через большие отверстия в атмосферу.
- •3. Истечение через затопленное большое отверстие.
- •4. Истечение через насадки
- •8.1. Общие понятия
- •8.2. Основная формула расхода водослива
- •8.3. Водослив с острым порогом
- •8.3.1. Формы струй
- •8.3.2. Основные задачи гидравлического расчета
- •8.3.3 Определение коэффициента расхода
- •8.5. Водослив практического профиля
- •Лекция №14 Элементы реологии Течение неньютоновских жидкостей
- •Гидродинамика кипящих (псевдоожиженных) зернистых слоев
- •Механизм переноса вещества и законы диффузии
- •1. Основные понятия и определения
- •Критерии подобия процессов массопередачи в однофазном потоке
- •Основы теории турбулентного массопереноса в процессах обогащения (сепарации).
- •Уравнение (1.24) принимает вид
- •Давление частиц рв на эту пластинку сверху равно
- •Соответственно извлечение частиц этого сорта составит:
- •Гидроциклоны – аппараты, использующие вихревые турбулентные потоки для разделения минералов по плотности и классификации их по крупности.
4. Касательное напряжение
Процесс перемешивания вызывает перенос количества движения из области малых скоростей потока в область больших скоростей и обратно. Очевидно, массы с малыми скоростями при входе в область течений с большими скоростями будут тормозить движение в этой области, т. е. оказывать силовое противодействие движению. Это будут силы инерции, и, следовательно, физическая природа турбулентных сопротивлений — инерционная. Массы жидкости с большими скоростями, оказывая давление на присоединенные массы, ускоряют их движение и расходуют при этом свою энергию (при этом ускорении возникают сил и инерции).
О пределим касательные напряжения. Рассмотрим два слоя: слой а—а и слой b-b (рис. 12). Пусть слом а-а движется со скоростью, равной проекции полной скорости частицы и на ось 0-х (uх=u∙cosα), а слой b—b движется со скоростью ux+dux. При этом за время dt из слоя а—а в слой b—b через площадку dω=dx dy, параллельную координатной плоскости х0у, проходит масса dm=ρdx dyuzdt и внедряется в слой b—b, приобретая там скорость ux+dux.
Составим уравнение изменения количества движения для массы dm:
(28)
Здесь dF — сила, действующая на массу dm в течение времени dt, представляющая собой воздействие жидкости за пределами слоя a—а на массу dm в процессе ее перемещения в слой b—b.
С учетом равенства dm=ρdx dyuzdt получим
Сила F направлена параллельно оси Ох и приходится на площадь dω=dxdy, поэтому касательное напряжение τ для площадки ω равно:
(29)
После подстановки и сокращения на dt получим
откуда
(30)
Здесь скорость , но осредненная скорость , так как расход потока направлен вдоль оси трубы, т. е. вдоль оси Ох, а вдоль оси Оz равен нулю (препятствуют жесткие стенки самой трубы). Поэтому . Примем далее условие , что возможно допустить, выбирая соответственно расстояние между слоями а-a и b-b.
Итак, для касательного напряжения можно записать:
(31)
Это будет мгновенное касательное напряжение, а осредненное касательное напряжение т определится по известной формуле осреднения
(32)
Здесь, очевидно, усредняется значение подынтегральной функции , и таким образом будем иметь выражение осредненного касательного напряжения
(33)
5. Закон распределения скоростей при турбулентном движении.
Рис.13
У стенок трубы скорости принимаются нулевыми, к центру (оси трубы) они постепенно увеличиваются, т.е. у стенок трубы создается ламинарный слой небольшой толщины δ, за пределами которого располагается центральная основная часть потока – турбулентное ядро. В связи с малыми скоростями течения в ламинарном (пристенном) слое скорости быстро нарастают, градиент скорости велик, и его можно приближенно считать величиной постоянной. В пределах центрального ядра турбулентное течение и изменение скоростей происходят не так интенсивно. Иллюстрация такой схемы показана на рис. 13.
Будем рассматривать закон распределения осредненных скоростей в центральном турбулентном ядре.
Для установления этого закона надо иметь зависимость касательного напряжения от градиента скорости (так же как и при решении этого вопроса при ламинарном движении), т.е. . Тогда, интегрируя такое дифференциальное уравнения, получаем искомую зависимость
Воспользуемся формулой (33). Входящие в нее пульсационные компоненты и по физической природе зависят от градиента скорости dux/dz, но такая зависимость неизвестна. Поэтому введем гипотезу
и ,
где коэффициенты k1 и k2 должны иметь линейную размерность
Тогда из (33) после подстановки получим:
Произведение двух коэффициентов k1, k2 можно заменить одним множителем и написать:
,
где l, так же как и коэффициенты k1 и k2 имеет линейную размерность:
(34)
Эта формула принадлежит Прандтлю.
Введенный множитель l Прандтль назвал длиной пути перемешивания, понимая этот путь как расстояние, проходимое частицей с начальной скоростью для приобретения скорости того слоя с координатой z, в который внедряется эта частица.
Касательное напряжение , определяемое (34), не зависит от вязкости, но в реальных условиях при неравномерном распределении скоростей в поперечном сечении (т.е. при наличии градиентов скорости) возникает и вязкостное касательное напряжение (как и при ламинарном движении) и, следовательно, результативно полное касательное напряжение
.
Эту формулу можно записать иначе:
. (35)
Легко видеть, что выражение играет роль вязкости турбулентного потока (подобно вязкости для ламинарных потоков), тогда, обозначив
,
можно записать:
. (36)
Уравнение (36) ( - вязкость при турбулентном движении) было предложено Буссинеском в 70-х годах прошлого века без теоретического обоснования, а по аналогии с законом Ньютона .
При больших числах Re вдали от стенок касательное напряжение зависит в основном от турбулентного состояния потока ( ) и наоборот.
Рассмотрим распределение скоростей в условиях, когда можно пренебречь , т.е. касательным напряжение вязкости.
Извлекая квадратный корень из уравнения (34) и решая относительно получаем:
.
Для интегрирования этого уравнения Прандтль ограничивает пределы интегрирования пространством от ламинарного пристенного слоя внутрь турбулентного ядра, принимая и линейную зависимость l от координаты z в виде
, (37)
где коэффициент и называется по Прандтлю универсальной постоянной, а - касательное напряжение на стенке, определяемое по (7). ПО опытам Никурадзе .
После подстановки получим дифференциальное уравнение
, (38)
где
Интегрируя (38) находим:
. (39)
Итак, распределение скорости по нормали к стенке трубы подчиняется логарифмическому закону.
Поскольку величина выражается в м/с, т.е. единице скорости, Прандтль ввел понятие скорость касательного напряжения, обозначив её u*
(40)
Эту скорость в отечественной литературе обычно именуют динамической скоростью (по М. Н. Великанову).
Пользуясь основным уравнением равномерного движения (7), можем определять u*, м/с, иначе:
(40а)
Используя понятие динамической скорости, (39) запишем проще:
. (41)
Определим значение постоянной С.
Значение постоянной интегрирования С находим по граничным условиям. Для турбулентного ядра имеем две границы: первая – наружная поверхность перехода ламинарного течения у стенки в турбулентный, отстоящая от оси трубы на расстоянии , и вторая – внутренняя , также цилиндрическая, вырождающаяся с приближением к центру в осевую линию трубопровода. На оси имеет место максимальная скорость , а на границе ламинарного слоя
В соответствии с этим получи на оси и , и тогда
.
Определив отсюда С, получим (41) в таком виде:
.
Для построения эпюры скоростей по этому уравнению надо иметь в виду, что координата z лежит в пределах
,
где - толщина пристенного ламинарного слоя (ламинарной пленки).
Определим толщину ламинарной пленки .
Известно, что или , но и .
Поэтому
или .
По опытным данным , сходная по структуре с числом Re, равна 11,6. Обозначив , найдем толщину пленки
. (43)
Очевидно тогда, что .
Из (43) видно, что толщина ламинарного слоя уменьшается с увеличением гидравлического уклона, а так как число при этом возрастает, то толщина δ убывает с увеличением Re.
Среднюю скорость определим по формуле .
Расход
.
Скорость можно определить по (42), так как z=r0-r, то
.
Элементарная площадка сечении трубы
.
Итак, расход
.
Интегрируя, получаем:
.
Тогда средняя скорость
(44)
Обозначив 3/(2x)=D, получим из (5.44)
(44а)
или
(45)
По своему физическому смыслу D представляет недостачу средней скорости до максимальной (определенной в безразмерной форме), поэтому эта величина и получила название дефицит скорости. Опыты показывают, что дефицит скорости оказывается мало изменяемой величиной, и её можно считать постоянной, что и надо было ожидать, так как D зависит только от универсальной постоянной Прандтля x. Если принять x=0,40, то для дефицита скорости D получим:
.
Примечание. Многочисленные опыты показали, что универсальная постоянная Прандтля x колеблется приблизительно в пределах
0,3<x<0,45,
а дефицит скорости в пределах
3,3<D<4.
Потерянный напор в трубах определяется по формуле Дарси-Вейсбаха
.
Входящий в эту формулу коэффициент сопротивления λ при ламинарном движении (24) равен 64/Re, т.е. зависит только от числа Рейнольдса.
При турбулентном движении он зависит от многих факторов, при этом зависимость от числа Рейнольдса оказывается более сложной.
Вводя в формулу Дарси-Вейсбаха взамен диаметра d гидравлический радиус R (равный R=d/4) и учитывая известное соотношение , можем записать
,
а так как , то
или после извлечения квадратного корня
.
С учетом формулы (5.44а) можно записать и так:
. (46)
Но поскольку неизвестно отношение для вычисления λ по этой формуле, произведем некоторые преобразования. Из формулы (5.42) имеем:
. (47)
Здесь, как известно, .
Определим отношение :
но так как , то
.
Тогда (47) можно записать так:
(48)
С учетом (48) перепишем формулу (5.46) в таком виде (переходя к десятичным логарифмам):
(49)
или в самой общей форме (формула Прандтля)
. (49а)
Здесь числовые значения А и В зависят от принятого значения x, при x=0,4 получим:
.
На основе экспериментальных исследований Никурадзе формула Прандтля получила окончательный вид:
. (50)
при x=0,45
.
На основании опытных данных получена более удобная формула (формула Конакова):
рис. 14 (51)
Формула Прандтля (50) получена теоретическим путем в предположении, что толщина пристенного ламинарного слоя δ больше высоты выступов шероховатости ε (рис. 14), благодаря чему пристенный слой как бы устраняет влияние выступов на развитие водоворотных образований турбулентного потока. Однако во многих случаях это условие не соблюдается. Толщина пристенного слоя δ уменьшается с увеличением числа Re, поэтому в одной и той же трубе с данной неизменной шероховатостью, но с увеличением расхода Q, а следовательно, с увеличением Re наступает нарушение условия и шероховатость начинает оказывать свое влияние. При очень больших числах Re шероховатость играет большую и даже решающую роль.