Глава 2. Основы гидродинамики
Этот
раздел посвящен изучению законов
движения жидкости. Известны два
принципиально отличных типа этого
движения:
ламинарное (потенциальное) и турбулентное
(вихревое), опредеделяемые соотношением
сил инерции с силам трения – критерий
Рейнольдса:
.
В отличие от движения твердого тела, учитывать ускорение при движении жидкости значительно сложнее из-за его вихревой компоненты. Эйлер нашел способ решить эту проблему учитывая обычное ускорение в точке (локальное) и
дополняя его конвективным ускорением в окрестности ее.
- локальное изменение
скорости за время
.
- конвективное
изменение скорости на отрезках dx.
Полная
или субстанциональная производная
скорости
определяется
суммой этих ускорений:
,
учитывая, что
запишем:
;
(1)
Аналогичная запись выражает изменение концентраций С или плотности жидкости.
Установившиеся
и неустановившиеся
движения жидкости.
- установившиеся
движение
- неустановившиеся
движение
Касательные к векторам скорости называют линией тока – её уравнение:
или два совокупных уравнения:
Трубкой тока называется часть жидкости ограниченная линиями тока (рис. 2.1), проходящими, через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Жидкость в трубке называется струйкой.
Площадь
S
– сечения потока, нормального к его
направлению – живое
сечение
потока.
Периметр
(П) живого
сечения называют смоченным
периметром.
Отношение
- гидравлический
радиус –
rг.
У
четверенное
значение гидравлического радиуса
называется эквивалентным
диаметром
dэ
rг=S/П; dэ=4rг=4S/П.
Рис. 2.1.
Расход
жидкости
[м3/с]
где
- истинная скорость в данной точке м/сек.
В реальных условиях
- сложная функция, поэтому:
Объемный расход через среднюю скорость:
где Q
– массовый расход жидкости Q
кг/ч,
- удельный вес жидкости, кг/м3.
2.1. Основные уравнения кинематики и динамики невязкой жидкости
Существует два метода исследования движения жидкости путем математического моделирования – метод Лагранжа и метод Эйлера
Как было указано ранее, жидкость рассматривается как легко деформируемая непрерывная среда. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается “частица” бесконечно малых размеров.
По методу Лагранжа предусматривается изучение законов движения каждой индивидуальной частицы.
По методу Эйлера задача заключается в изучении поля скоростей, ускорений и других параметров движения и оставляет в стороне вопрос о том, как движется та или иная индивидуальная частица.
Оба метода математически связаны друг с другом, и возможен переход от уравнений, составленных по одному методу, к уравнениям, составленным по другому.
Метод Лагранжа
Движение одной какой-либо частицы жидкости определяется системой трех уравнений:
и
(2)
где х, y, z – координаты данной частицы, а t – время (x, y, z являются функциями времени).
Для точного описания движения всех частиц данного потока потребовалось бы иметь бесконечное множество таких уравнений, что невозможно.
Таким образом, движение всей массы жидкости будет известным, если известна следующая система:
(3)
В этой системе начальные координаты a,b и c могут рассматриваться как независимые переменные. Следовательно, координаты x, y и z являются функциями четырех независимых переменных a, b, c и t. Эти переменные называют координатами Лагранжа.
Если система (3.1) известна (задана или найдена), то движение жидкости определяется в полной мере. Действительно, составляющие скорости любой частицы определяются как первые производные по времени от x,y и z и записанные в виде частных производных в соответствии с (3.1):
(4)
а составляющие ускорения определяются как вторые производные
Метод Эйлера
Рассмотрим движение жидкости в некоторой области. В каждой точке этой области в данный момент частицы жидкости имеют скорость u.
ux=F1(x,
y,
z,
t);
uy=F2(x, y, z, t); I
uz=F3(x, y, z, t).
Для установившегося движения поле скоростей остается во времени неизменным, и поэтому Рис. 2.3. для взамен системы I получим систему устано-
вившегося движения:
ux=F1(x, y, z, t);
uy=F2(x, y, z, t); II
uz=F3(x, y, z, t).
Аналитическим условием того обстоятельства, что движение является установившемся, будет:
(5)
Лекция 3.