Уравнение неразрывности (сплошности, постоянства расхода)
М
асса
жидкости , входящая через грань dy·dz
равна (рис. 3.1):
(1)
Масса жидкости, вытекающая
через противоположную грань (2):
Рис.3.1.
После сокращений и приближений получаем
,
но так как выражение в скобках производная
произведения, то:
(3)
Соответственно для всех трех осей будем иметь:
(4)
Этот избыток массы происходит за счет изменения плотности
(5) и приравнивая эти уравнения получаем:
;
или div(ρv)
=
(6)
Это уравнение называют законом локального сохранения вещества.
Для установившегося
движения
и
или
(7)
или
или
Интегрирование последнего уравнения для каждого данного сечения S1 ; S2;….Sn приводит к зависимости:
Если жидкость
капельная (несжимаемая), то
и
,
то есть объемный расход
,
где l-
длина трубы
В этом случае (капельная жидкость):
и уравнение неразрывности имеет вид:
(8)
3.2. Дифференциальные уравнения движения жидкости
Уравнение всех
сил действующих на осях x,
y,
z
на параллелепипед dx
dy
dz
(рис.3.2), где G
- сила тяжести, а Р – давление
Рис.3.2.
п
осле
сокращения и раскрытия полных производных
в правой части:
(9)
Это
и есть уравнение
Эйлера для идеальной невязкой жидкости
(
).
(10)
Лекция 4.
Уравнение Бернулли
Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики – уравнению Бернулли
Умножив левые и правые части каждого из уравнений Эйлера, соответственно на dx, dy и dz и разделив на плотность ρ жидкости, получим:
(1)
Сложим эти уравнения, учитывая, что
производные
,
и
выражают проекции
,
,
скорости на соответствующие оси
координат.
Тогда
(2)
Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как
,
и следовательно, их сумма:
(3)
где
- величина вектора скорости, составляющие
которой вдоль соответствующих осей
равны
,
,
.
В тоже время сумма членов, стоящих в скобках в правой части записанного уравнения, представляет собой полный дифференциал давления dp (при установившихся условиях давление зависит лишь от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не меняется со временем.
Значит:
(4)
Разделив обе части этого уравнения на ускорение силы тяжести g и перенося все его члены в левую часть, находим
(5)
причем для несжимаемой однородной жидкости ρ=const.
Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно
(6)
откуда получаем уравнение Бернулли:
,
(7)
выражающее
Закон сохранения энергии,
где:
- потенциальная,
а
- кинетическая
энергии.
Здесь z – пьезометрическая высота; p/ρg – давление; v2/2g - скоростной напор