Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потеке вязкой жидкости эле­ментарный параллелепипед (рис.1) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений τ. Рассмотрим первоначаль­но относительно простой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси х, когда проекция скорости зависит только от расстояния z до горизонтальной плоскости отсчета.

В этих условиях касательные напряжения возникают лишь ни поверх­ностях dF верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем dF= dxdy.

Рис.1. К выводу уравнений Навье-Стокса.

Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно τ, то на верхней оно составляет

При этом направления касательных напряжений на нижней и верхней гранях обусловлены, например, тем, что более медленные выше­лежащие слои жидкости затормаживают слой, в котором находится парал­лелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его. Производная выражает изменение касательного напряжение вдоль оси z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда,a представ­ляет собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра парал­лелепипеда.

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х

(8)

Подставив в это выражение значение касательного напряжения τ по уравнению Ньютона: , где μ — вязкость жидкости, получим

(9)

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид

(10)

Сумму вторых производит по осям координат называют оператором Лапласа:

(11)

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось x мо­жет быть представлена как

Соответственно проекции равнодействующей сил трения на ось y:

на ось z

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жид­кости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выво­де уравнений Эйлера), составляют:

на ось х

на ось y

на ось z

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости ( -плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме, на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проек­ции равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после сокращения на dxdydz, получим

(12)

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившееся потоков уравнениями (12)

Уравнения (12) представляют собой уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой капельной жидкости.

Дифференциальные уравнения вихревого движения жидкости (Громеки)

Разделим правую и левую части уравнения Эйлера на плотность жидкости ρ:

(13)

Полная скорость частицы, через осевые составляющие определяется по уравнению:

(2)

Частные производные от обоих частей уравнения (2) по xyz будут:

(3)

Вычитая из обеих частей уравнения Эйлера (1) равенства (3 – поступательное движение) после перегруппировки с выделением элементов вращения, получим

(4)

Обозначая

, ,

получим

Иногда эти уравнения называют уравнениями Эйлера в форме Громеки.

Математические модели движения жидкости в векторной форме.

Уравнение Эйлера

идеальная жидкость ( ).

Уравнение Навье-Стокса

реальная жидкость ( ).

Уравнение Громеки

вихревое движение жидкости

Лекция 5.

Общие сведения о вихревом движении.

Вихревой скоростью называется мгновенная угловая скорость бесконечно малой жидкой ча­стицы.

Вихревой линией называ­ется линия, в каждой точке которой в данный момент вектор вихревой скоро­сти жидкости к ней касателен (см. рис. 1.).

Дифференциальное уравнение вих­ревых линий имеет вид:

(1)

или в виде двух совокупных уравнений:

; ; (2)

Вихревой трубкой (вихревым шнуром, вихревой нитью) назы­вается часть жидкости, ограниченная вихревыми линиями, про­веденными через все точки какого-нибудь бесконечно малого замкну­того контура, находящегося в области, Рис. 1. Вихревая линия (а) и занятой жидкостью. вихревая трубка (б).

Вихревая трубка представляет собой циркуляционный поток жидкости беско­нечного малого сечения df.

Вихревой поверхностью называется поверхность, ограничивающая вихревую трубку.

Интенсивностью или напряжением вихревых трубок называется удвоенное произведение угловой скорости на пло­щадь поперечного сечения трубки:

[м²/сек]. (3)

Важнейшим свойством вихревой трубки является постоянство напряжения по длине трубки, т. е. аналогично постоянству расхода имеем:

(4) или

(5)

Согласно уравнению (II, 60) в меньшем сечении трубки возникает большая угловая скорость. Вследствие этого вихревая трубка не мо­жет оканчиваться в жидкости, так как при уменьшении сечения труб­ки до нуля угловая скорость стала бы бесконечно большой.

Вихревые трубки внутри ограниченного объема жидкости закан­чиваются или на стенках сосуда, или на свободной поверхности жид­кости, или же образуют замкнутые вихревые кольца.

Интенсивность вихревой трубки может оцениваться также цирку­ляцией скорости. Это аналогично понятию работы сил в теоретической механике.

Возьмем в жидкости точку А, принадлежащую замкнутому контуру длиной l (рис. 65); вектор скорости жидкости в точке A, а касатель­ная к контуру К. Угол, образованный между вектором скорости и

Рис. 2. К понятию о циркуляции Рис. 3. Циркуляция вектора

вектора скорости по замкнутому контуру.

касательной К, обозначим через а. Если взять сумму произведений про­екций скорости на соответствующую касательную в каждой точке кон­тура на элемент длины линии контура dl, то получим так называемую циркуляцию по контуру:

[м²/сек] (6)

Если обозначить углы между направлением касательной и осями координат через α₁, β₁, γ₂ а углы между направлением скорости и ося­ми координат — через α₂, β₂, γ₂ то между этими углами и углом а будет существовать следующая зависимость:

Выразим косинусы через скорость и элементы дуги и их проекции на оси координат:

(7)

Подставляя (II, 62) в уравнение циркуляции, получим

[м²/сек] (8)

Уравнение (II, 63) аналогично уравнению суммы элементарных работ в механике, только здесь роль силы играет скорость. Исходя из выражения (II, 63), циркуляцию скорости Г можно определить как работу скорости на замкнутом контуре:

[м²/сек] (9)

Для установления связи между циркуляцией и интенсивностью вихревой трубки выделим внутри жидкости бесконечно малый замк­нутый контур abсd со сторонами dy и dz (рис. 66).

Допустим, что в точке а (х, у, z) этого контура скорости w_x, w_y, w_z. На сторонах и cd действуют скорости соответственно w_y и , а их сумма ; на сторонах bc и da действуют скорости соответственно w_z и , а их сумма . Составляя выражение для циркуляции по всему бесконечно малому контуру abсd, согласно уравнению (11,63), надо про­суммировать произведения скорости на длины отдельных сторон:

(I0)

Согласно уравнению Громеки:

Поэтому

но по уравнению (11,58)

,

и, следовательно,

. (12)

Таким образом, циркуляция по контуру равна напряжению вихре­вой трубки, проходящей через этот контур.

Равенство (II, 67) следует и из соображений размерности. Дей­ствительно, в выражение интенсивности вихревой трубки входит угло­вая скорость и площадь сечения, в то время как в уравнение циркуля­ции входит окружная скорость и длина — в результате в обоих слу­чаях получаем одну и ту же размерность (м²/сек).

Аналогичное соотношение между интенсивностью и циркуляцией получаем для контура любых конечных размеров, что формулируется в виде теоремы Стокса: скорость циркуляции по замкнутому контуру равна сумме напряжений всех вихревых трубок, проходящих через этот контур.

В соответствии с постоянством напряжения по длине трубки для замкнутого контура производная циркуляции по времени равна нулю:

(13)

т. е. циркуляция по контуру не зависит от времени (теорема В. Томсона). С течением времени может меняться скорость и площадь сече­ния вихревой трубки, но произведение их остается постоянным, т. е. напряжение вихревой трубки во время движения остается постоянным. Для идеальной жидкости формулируется принцип сохранения вих­рей: в идеальной жидкости жидкая масса, образующая вихревую труб­ку, движется, оставаясь все время вихревой трубкой, напряжение ко­торой постоянно по всей длине, и не изменяется с течением времени. Согласно принципу сохранения вихрей, если вихрь существует, то он сохраняется вечно. Однако этот вывод относится только к идеальной жидкости. В вязкой реальной жидкости вихри возникают и затухают под влиянием вязкости.

Рис. 4. К определению скорости, Рис. 5. Схема взаимодейст­вия

порождаемой вихрем. двух вихрей.

В реальных жидкостях принцип сохранения вихрей переходит в принцип устойчивости форм вихревого движения. Во всех практиче­ских случаях вихри обладают значительной устойчивостью.

Наличие в жидкости вихрей вызывает появ­ление в ней добавочных скоростей, что увели­чивает перенос субстанции и существенно влияет на природу процессов массообмена. Обозначим скорость жидкости в любой точке С (рис. 4), вызываемую действием элементарного отрезка вихря dl, через и расстояние этой точки С от вихря — через А; угол, составленный прямой ОС и осью вращения z-z, через θ. Если интенсивность вихревой трубки равна J и скорость циркуля­ции — Г, то вычисление скоростей движения, порождаемого вихря­ми, в общем случае производится по уравнению

. (14)

Если имеется несколько вихрей, то, взаимодействуя между собой, они создают перемещение вихревых систем в пространстве.

Если в точке С (см. рис. 4) будет находиться второй вихрь с противоположно направленной циркуляцией Г₂, то схему взаимодействия двух вихрей можно представить рис. 5. Приняв длину элементарных отрезков вихрей и расстояние между двумя вихрями А=а при θ= 90°, на основании уравнения (II, 68) получим, что один вихрь будет возбуждать перемещение второго со скоростью

, (11, 70)

в то время как второй будет возбуждать перемещение первого со ско­ростью

, (11, 71)

При этом положительной циркуляции Г₁ отвечает движение по окружности по часовой стрелке.

Рис. 6. Поле скоростей, созда­ваемое Рис, 7. Поле скоростей, создаваемое вихрем двумя вихрями

В области вихревой трубки вся масса жидкости будет получать от вихря скорость (рис. 6), которая будет максимальной на поверх­ности вихревой трубки r₀ , а затем по мере увеличения рас­стояния от оси скорости постепенно уменьшаются. Если будем иметь вихревую пару, то распределение скорости в поле действия этой пары будет таким, как показано на рис. 70. Под влиянием скорости движе­ния, возбуждаемого вихрем,

вихревая пара будет перемещаться поступательно в пространстве по прямолинейному направлению перпендикулярно к кратчайшей пря­мой а, соединяющей оба вихря. При различном направлении вихрей они будут перемещаться относительно общего центра наподобие пла­нет. Если же вихревая пара имеет циркуляцию по одному направле­нию, то центр вращения пары лежит на середине расстояния.

Д ля процессов массообмена, осуществляемых в промышленных аппаратах, часто характерным является обтекание потоком различных элементов аппарата. Поэтому представляет практический интерес движение образуемых вихрей за обтекаемым телом.

При некоторой скорости, зависящей от вязкости и ширины обте­каемого тела, позади него начинают отрываться вихри поочередно справа и слева. На некотором расстоянии за телом устанавли­ваются определенные расстоя­ния между вихрями, причем вих­ри в зависимости от формы об­текаемого тела располагаются как симметрично, так и в шах­матном порядке (рис. 71); вих­ри обоих рядов имеют проти­воположное вращение, т. е. Г₁ =

Рис. 71 Г₂. Расстояние h между ря­дами вихрей (ширина вихревого слоя) не зависит от скорости, а зависит от ширины тела. Один ряд вихрей называется вихре­вой цепочкой.

Скорость перемещения вих­ревых цепочек:

при симметричном располо­жении

, (11, 72 )

при шахматном расположении

(11, 73)

Условием устойчивости вихревых цепочек является равенство [4]

(11, 74)

Так как вихри вызывают появление в жидкости добавочных скоростей, то эти скорости, в свою очередь, сообщают жидкой массе количество движения, определяемое уравнением Жуковского:

, (11, 75)

Где М – количество движения, равное кГ/сек; m- масса жидкости, ; v – скорость жидкости, м/сек; ρ – плотность жидкости, ⁴; Г- циркуляция, м²/сек; а – расстояние между двумя соседними вихрями каждой цепочки, м; h – ширина вихревых слоев, м.

Уравнение (II, 75) представляет собой математическое выражение теоремы Н. Е. Жуковского; количество движения, сообщаемое безгранич­ной массе жидкости двумя параллельными между собой, прямолинейными и непрерывными вихревыми слоями конечной ширины, одинакового на­пряжения и противоположного вращения, равно плотности жидкости, умноженной на циркуляцию вихрей, расстояние между слоями и на их ширину.

Это количество движения сообщается жидкости только в направлении по нормали к плоскостям слоев или параллельно направлению вихревых слоев или по продолжению.

Из этой теоремы следует, что один изолированный вихревой слой конечной ширины не сообщает жидкости никакого количества движе­ния и не действует на жидкость как сила.