30. Биномиальный закон распределения.

Пусть проводится n независим. испытаний, в кажд. из которых соб. А может появиться, либо не появиться. Вер. появл. соб. А в единичном испытании постоянна и не меняется от исп. к исп.. Рассмотрим в кач-ве ДСВ Х число появлений соб. А в этих исп. Формула, позволяющая найти вер. появления m раз соб. А в n испытаниях – это форм. Бернулли. Опр.: ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. знач. с вер. P_n(m)=P(X=m)= p^mq^n-m, где p+q=1, p>0, q>0, m= называется распределенной по биномиальному закону, а p – параметром биномиальн. распр. Ряд распр. ДСВ Х распределенной по биномиальному закону можно представить в виде:

X	0	1	K	n
p

Ф-ция распр. в этом случае опр-ся формулой F(x)= . Найдем числовые хар-ки этого распр.. M(X) = (рав-во 1) . Запишем рав-во, являющееся биномом Ньютона: (p+q)ⁿ= . Продифференцируем последнее рав-во по p: n(p+q)^n-1= . Умножим последнее рав-во на p: np(p+q)^n-1= . Сравнивая получен. рав-во с рав-вом (1), получаем, что np(p+q)^n-1 = M(X). Т.к. p+q=1, то M(X)= np. Для вычисления дисперсии ДСВ, распределенной по биномиальному закону, воспольз. формулой D(X)= M(X²) – (M(X))². Для СВ распределенной по биномиальн. закону: M(X²) = . Продифференцируем рав-во (p+q)ⁿ = дважды по p. Получим n(n–1)(p+q)^n—2= . Умножим последнее рав-во на p² и преобразуем правую часть рав-ва: n(n – 1)(p+q)^{n —2} p²= — ; n²p² – np² = M(X²) — ; n²p² – np² = M(X²) – M(X). Для ДСВ распределенной по биномиальн. закону M(X)= np, т.е. n²p² – np² = M(X²) – np; M(X²)= n²p² – np² + np; D(X)= n²p² – np² + np — n²p² = np(1 – p) = npq. Значит дисперсия ДСВ распределенной по биномиальн. закону вычисляется по формуле: D(X) = npq. .

33. Закон Пуассона

ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотриц. знач. с вер. P_m = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с пар-ом распр. λ, где λ=np. В отличие от биномиального распр. здесь СВ может принимать бесконечное мн-во знач., представляющ. собой бесконечн. посл-сть целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящих за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной ср. интенсивностью, кот. хар-ся параметром λ=np. Ряд распр. закона Пуассона имеет вид:

X	0	1	2	M	…
p	e^—λ	λ e^—λ	(λ^2 e^—λ)/2!	(λ^m e^—λ)/m!	…

Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функцию e^x можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому e^λ = = 1+ λ + λ²/2! + …+ λ^m/m! +… Тогда = e^—λ = e^—λ e^λ =1. Найдем м.о. и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = = = =λe^λ = λe^—λ e^λ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X²) – (M(X))². M(X²) = = e^—λ = e^—λ = λ² e^—λ + λ e^—λ = λ² e^—λ e^λ + λ e^—λ e^λ = λ² +λ. Тогда D(X) = λ² +λ — λ² = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распр. λ.