23.Функция распр. Св и ее свойства
Ряд
распр. не явл. исчерпыв. хар-кой для СВ,
т.к. он сущ-ет только для дискретн. СВ.
Непрерывная СВ(НСВ) имеет бесчисленное
мн-во возм. знач., сплошь заполняющ.
некот. промежуток. Составить табл., в
кот. были бы перечислены все возм. знач.
СВ невозможно. Кроме того в дальнейшем
будет показано, что каждое отд. знач.
обладает нулевой вер. Однако несмотря
на рав-во 0-вых вер. отд. знач. НСВ,
нахождение ее возм. знач. в разл. интервалах
обладает разл. и отличными от 0 вер. Т.о.
для НСВ, так же как и для ДСВ, можно
определить закон распр., но в неск-ко
ином виде. Для хар-ки поведения НСВ
целесообразно использовать не вер.
события X=x,
а вер. соб. X<x,
где x
– некот. действит. число. Вер. P(X<x) явл.
функцией аргумента x.
Будем обозначать эту ф-цию. F(x).
Опр.:
Ф-цией распр. СВ X - ф-ция F(x),
задающая вер. того, что СВ X принимает
значение меньшее x,
т.е. F(x)=P(X<x).
Ф-ция. распр. F(x)
назыв. также интегр. ф-цией распр. или
интегр. законом распр. Ф-ция распр.
существует для всех СВ(как дискр., так
и непрерывн.).Она полностью хар-ет СВ с
вер. т. зр., т.е. является одной из форм
закона распр. Ф-ция распр. допускает
простую геом. интерпретацию. Рассмотрим
СВ X
как случ. точку на оси OX,
кот. в рез-те опыта м. занять то или иное
положение. Пусть на оси OX
выбрана конкр. точка x,
тогда в рез-те опыта случ. точка X
м. оказаться левее или правее точки x.
Вер. того, что случ. точка X
оказалась левее точки x
и будет являться ф-цией. распр., зависит
от положения точки x.
(рисунок). Для ДСВ, кот. может принимать
значение х1,х2
….. хn
,
ф-ция. распр. имеет вид
,
где нер-во
означает, что суммирование касается
всех тех знач. хi,
вел-на кот. <x.
Поясним эту формулу исходя из аргумента
F(x).
Предположим, аргумент x
принял какое-то опр. знач., но такое, что
выполняется нер-во
,
тогда левее числа x
на числ. оси окажутся только те знач.
СВ, кот. имеют индекс 1,2,3…,i.
Поэтому нер-во X<x
выполняется, если вел-на. X
примет знач. хk,
где k=1,2,3…,i.
Т.о. соб. X<x
наступит, если наступит любое из соб.
,
,…,
.
Т.к. эти соб. несовмест., то по теор. слож.
вер.P(X<x)=
+
+…+
=
.
Построим ряд распр. ДСВ Х:
Х |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
p |
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
pn |
При
,
F(x)=
=0;
При
,
F(x)=
=
;
при
,
F(x)=
=
=
;
при
,
F(x)=
=
+
;
при
,
F(x)=
=
+…+
=
;
при
,
F(x)=
+…+
=
.
Для ДСВ график ф-ции распр. представляет
собой разрывную ступенчатую фигуру.
(нарисовать). Когда перемен. х проходит
через какое-ниб. из возм. знач. СВ, знач.
Ф-ции распр. меняется скачкообразно,т.е.
ф-ция имеет скачок в тех точках, в кот.
СВ принимает конкр. знач. согласно ряду
распр., причем вел-на скачка равна вер.
этого знач.. Замечание:
По ф-ции распр. ДСВ всегда м. восстановить
ее ряд распр. Св-ва
ф-ции распр.:
1) если F(x)
–ф-ция распр. СВ Х, то
для всех х. Это св-во вытекает из опр.
Ф-ции распр.; 2) F(x)
явл. неубывающей, т.е.
при
,
.
Док-во:
Пусть
- точки числ. оси, причем
.
Покажем, что
.
Рассмотрим 2 несовмест. соб.: соб. А
состоит в том, что
,
а соб. В сост. в том, что
.
Тогда соб. А+В =
.
По теор. слож. вер. P(A+B)=P(A)+P(B)
или
P(X<
)=
P(X<
)+P(
).
Используя
опр. ф-ции распр. получаем F(х2)=F(х2)+
P(
).
Т.к. вер. того, что (
)
0,
то F(х2)
F(х1),
т.е. F(x)
– неубыв. ф-ция; 3) если F(x)
– ф-ция распр., то
=0,
=1.
Док-во:
Т.к. F(x)
– монот. Ф-ция и ограниченная (из св-ва
1), то
сущ-ет. В силу предполагаемой непрерывности
F(x)
можно записать, что
=
=
.
Т.к. соб.
невозможное, то его вер.=0. Значит
=0.
Аналогично
=
=
.
Соб.
- достоверное, а его вер. =1. Значит
=1.