42. Понятие центральной предельной теоремы.

При суммировании достаточно большого числа СВ закон распр. суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении нек. условий. Эти усл., которые мат. можно сформулировать разл. образом – в более или менее общем виде, - по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отд. слагаемых было равномерно малым, т.е. чтобы в состав суммы не входили члены, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Различные формы центральной предельной теоремы(ЦПТ) различаются между собой теми условиями, для кот. устанавливается это предельное св-во суммы СВ. В ЦПТ рассматриваются законы распр. случ. величин. Согласно ЦПТ, закон распр. суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, сколь угодно близко к нормальному. В практических задачах ЦПТ часто используют для вычисления вер. того, что сумма нескольких СВ окажется в заданных пределах. Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые СВ с мат. ожиданиями m₁, m₂, …,m_n и дисперсиями D₁, D₂, …, D_n. Предположим, что условия ЦПТ выполнены (вел-ны Х₁, Х₂, …, Х_n сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы) и число слагаемых n достаточно для того, чтобы закон распр. вел-ны можно было считать приближенно нормальным. Тогда вер. того, что СВ Y попадает в пределы участка (α, β), выражается формулой P(α <Y<β)= - формула (1), где m_y, σ_y – математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение вел-ны Y, Φ^* – нормальная ф-ция распр..

Заметим, что ЦПТ может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным СВ при усл., что мы будем оперировать не плотностями, а ф-циями распр.. Действительно, если вел-ны Х₁, Х₂, …, Х_n дискретны, то их сумма Х – также дискретная СВ и поэтому, строго говоря не может подчиняться нормальному закону. Однако все формулы типа формулы (1) остаются в силе, так как в них фигурируют не плотности, а ф-ции распр. Частным случаем ЦПТ для ДСВ является теорема Лапласа.

43. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.

Исходным материалом всякого стат. исследования является сов-сть рез-тов наблюдения. В рез-те наблюдения за случ. явлением или проведения эксперимента получают некоторые числовые данные, кот. записывают в виде таблиц. Все необходимые сведения об эксперименте или изучаемом случ. явлении должны быть зафиксированы. Сов-сть наблюденных или экспериментальных данных представляет собой первичный стат. материал. Эта сов-сть называется простой стат. сов-стью или простым стат. дискретным рядом. Рассмотрим случ. эксперимент, кот. описывается одномерной СВ Х. Мат. моделью эксперимента является тройка (Ω_X, F_X, F(x)), где Ω_X – мн-во возм. знач. СВ Х, F_X – σ-алгебра числового мн-ва, F(x) – ф-ция распр. СВ Х. Осуществив n независимых повторений эксперимента, получим посл-сть n наблюденных знач. СВ Х, которые обозначим х₁, х₂, …, х_n. Они принадлежат мн-ву знач. Ω_X СВ Х, т.е. {х₁, х₂, …, х_n} Ω_X. Мн-во {х₁, х₂, …, х_n}Ω_X называют выборкой, а число элементов, входящих в выборку, - объемом выборки. Мн-во Ω_X принято называть ген. сов-стью, а число эл-тов Ω_X – объемом ген. сов-сти.

Выборочное распределение. Пусть дана выборка {х₁, х₂, …, х_n}, x_iΩ_X, . Числа x_i, , образующие выборку, являются наблюденными знач-ми СВ Х (непрерывной или дискретной), полученными при реализации n независимых экспериментов. Эксперименты повторяются при одних и тех же усл. σ. Для придания компактности и наглядности выборке в случае, когда СВ Х – непрерывная, весь диапазон наблюденных данных делят на интервалы или разряды и подсчитывают кол-во знач. m_i, входящих в данный интервал, т.е. определяют абс. частоты наблюденных данных. По абс. частотам, входящим в данный интервал, находят отн. частоты W_i=m_i/n, причем . Ясно, что сумма всех относит. частот W_i равна 1, т.е. . Полученные интервалы и соотв. отн. частоты записывают в виде таблицы, кот. назывется интервальным рядом распр.. Интервальный стат. ряд будет задавать распр. выборки, кот. однозначно опр-ся самой выборкой.