48. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки для параметра а, в мат. статистике рассматривают вер. нер-ва | -a| <δ: P (| -a| <δ) = P(-δ< -a<δ)= P( - δ<a< +δ) – формула (1). И если вер. близка к единице, т.е. если P( - δ<a< +δ) = 1 – ε, то диапазон практически возможных знач. ошибки, возникающей при замене а на , равен ±δ. Чем меньше для ε>0 будет δ>0, тем точнее оценка . Из формулы (1) видно, что вер. того, что интервал ] -δ; +δ[ со случайными концами накроет неизвестный параметр, равна 1 – ε. Эта вер. называется доверительной вер.ю. Опр.: Случайный интервал, определяемый рез-тами наблюдений, который с заданной вер.ю α = 1 – ε накрывает неизвестный параметр а, называется доверительным интервалом для параметра а, соотв. доверительной вероятности α = 1 – ε. Граничные точки доверительного интервала называются соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Заданному α = 1 – ε соответствует не единственный доверительный интервал. Доверительн. интервалы могут изменяться от выборки к выборке. Более того, для данной выборки различные методы построения доверительных интервалов могут привести к различным интервалам. Поэтому выработаны определенные правила. Используя их и эффективные оценки неизвестных параметров, получают кратчайшие интервалы для заданной доверительной вероятности α = 1 – ε.

50. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.

Опр.: Стат. гипотезой (Г.), обозначаемой H, называется любое предположение относительно вида или параметров распр. СВ Х, которое может быть проверено по результатам выборки. Любое предположение, однозначно определяющее распр. выборки, называется простой Г. Как следует из определения, могут приниматься различные стат. Г. Пусть дано m+1 распр. P₀, P₁, …, P_m и известно, что выборка x₁, x₂, …, x_n принадлежит одному из этих распр.. Необходимо определить, к какому именно распр. P_i , i = , принадлежит выборка. Каждая из Г. H_i (H_i - выборка принадлежит P_i , i = ) будет простой.

Г. могут формулироваться и о знач.х параметров распр. известного вида. Параметрическая Г. называется простой, если содержит только одно предположение относительно параметра. Параметрическая Г. называется сложной, если состоит из конечного или бесконечного числа простых Г.. При этом одно из таких предположений выбирается в кач-ве основного (исходного) и называется нулевой Г. H₀. Другие предположения или возм-сти называют конкурирующими Г. H₁, H₂, … После формулировки стат. Г-ез ставится задача их проверки по рез-там случайной выборки. Для проверки стат. Г. с помощью стат. критерия устанавливается, соответствуют ли взятые из выборки данные выдвинутой Г. или нет, т.е. нужно ли принять или отвергнуть Г.

51. Критерии проверки статистических гипотез.

Стат. критерием для проверки гипотез (Г.) H₀, H₁, …, H_m называют случ. вел-ну δ(Х), принимающую знач. H_i , i = , т.е. это отображение выборочного простр-ва на мн-во рассматриваемых Г. Если δ(Х) = H_к, то принимают Г. H_к (т.е. считают, что а = _к при проверке парамерической Г). Задание стат. критерия эквивалентно разбиению выборочного простр-ва на m+1 непересекающихся мн-в Ω₁, Ω₂, …, Ω_m , на кот-ых принимаются соответствующие Г. Т.к. стат. критерий формулируется по рез-там конечной случ. выборки и выборка может быть неудачной, то при проверке стат. Г. всегда сущ. риск принять ложное решение. Рассмотрим Г. H₀ и конкурирующую Г. H₁ и допустим, что во всех случаях, когда H₀ – истинна, действие А предпочтительнее действия В, в противном случае предпочтительнее действие В.