Оглавление

Глава 1. Закон больших чисел (предельные теоремы) 3

§ 1. Основные понятия и формулы 3

§ 2. Решение типовых задач 5

§ 3. Задачи для самостоятельного решения 7

Глава 2. Нормальная случайная величина 11

§ 1. Основные понятия и формулы 11

§ 2. Решение типовых задач 16

§ 3. Задачи для самостоятельного решения 20

Глава 3. Точечные оценки неизвестных параметров 25

§ 1. Основные методы нахождения оценок неизвестных параметров 25

§ 1.1 Метод моментов Пирсона 26

§ 1.2. Метод максимального правдоподобия Фишера 26

§ 2. Решение типовых задач 27

§ 3. Задачи для самостоятельного решения 46

47

48

Глава 4. Построение доверительных интервалов для параметров распределения генеральной совокупности 53

§1. Схема построения доверительных интервалов 53

§2. Решение типовых задач 56

§3. Задачи для самостоятельного решения 69

Глава 5. Проверка статистических гипотез. Критерий значимости 72

§1. Схема применения критерия значимости. Ошибки I и II рода 72

§2. Решение типовых задач 75

§3. Задачи для самостоятельного решения 86

Глава 6. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности (критерий согласия) 89

§1. Схема применения критерия согласия 89

§2. Решение типовых задач (проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности. Критерий Пирсона ) 92

§3. Задачи для самостоятельного решения 108

Глава 7. Методический материал для написания эссе 117

§1. Методические рекомендации по написанию эссе 117

§2. Образец написания эссе 121

Глава 8. Приложения 127

§1. Понятие о квантилях 127

§2. Основные распределения в статистике 129

§3. Статистические таблицы 133

Таблица I. Значения нормированной функции Лапласа 133

Таблица II. Квантили нормального распределения N(0;1) 134

Таблица III. Квантили распределения Стьюдента T(k) 134

Таблица IV. Квантили распределения хи-квадрат 135

Таблица V. Квантили распределения Фишера 136

Таблица VI. Равномерно распределенные случайные числа 137

Глава 1. Закон больших чисел (предельные теоремы)

§ 1. Основные понятия и формулы

В курсе «Теория вероятностей» вы уже познакомились с предельными теоремами. Повторим основные теоремы.

Исторически теорема Бернулли – первая из доказанных теорем (1713 г.) (поведение относительной частоты по отношению к вероятности события) После теоремы Бернулли было доказано довольно большое число такого рода теорем, выясняющих поведение среднего различных случайных величин при n стремящейся к бесконечности. Суть их состоит в том, что среднее при неограниченном увеличении числа опытов теряет характер случайного и поэтому его поведение можно предсказать! Это положение, доказанное в ряде предельных теорем, называется законом больших чисел. Накопленный опыт отмечает хорошее согласие предельных теорем с реальной действительностью.

На предельных теоремах фактически основное вся математическая статистика – это средние величины, находимые из опытов. На практике мы чаще используем неравенства, на основании которых доказываются предельные теоремы

1. Неравенство Маркова

Пусть X – случайная величина (принимает неотрицательные значения)  0

• P {X≥}≤ M[X]/

• Р {X} 1 – M[X]/  F()1 – M[X]/

[F(x)=P{Xx}]

2. Неравенство Чебышева

X – любая случайная величина

M [X]=m; D[X]=²

• P{X-m≥}≤²/²

• P{X-m}1- ²/²

3. Неравенство Бернулли

Схема Бернулли

Проводится «n» испытаний. Возможны только два исхода A( ). P(A)= P; Р( )=1-p=q. X - число появлений A в «n» испытаниях. Распределение Бернулли:.

• P{X=k}= .

• M[x]=n*p; D[x]=n*p*q

• P{X-n*p} - неравенство Чебышева-Бернулли

• P{X-np}1-npq/² – неравенство Бернулли-Чебышева

Пусть А появилось «к» раз в «n» испытаниях - относительная частота, тогда:

– неравенство Бернулли

Это неравенство дает оценку вероятности отклонения относительной частоты от вероятности P в условиях схемы Бернулли.

4. Теорема Чебышева для последовательности независимых св

• Пусть X₁,X₂,…X_n - независимые случайные величины.

• Пусть M[X₁]= , M[X₂]= ,…,M[X_n]=

•  D[Xi]≤c (дисперсии ограничены в совокупности)

• Обозначим

Теорема Чебышева : ; [сходится по вероятности]

5. Частный случай

X₁, X₂,…, X_n M[Xi]=m; D[Xi]=D для i:

§ 2. Решение типовых задач

Задача 1.

Вероятность того, что покупателю обувного магазина потребуются модельные туфли 34 размера равна 0,02. Необходимо оценить вероятность того, что среди 2000 побывавших в магазине доля покупателей, которым нужны такие туфли, отклоняется от 0,02 меньше, чем на 0,05.

Задача 2.

Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумаги, продаст их, равна 0,6. При каком числе ценных бумаг вероятность отклонения доли проданных средних отклонимся от 0,6 не более, чем на 0,3 (не меньше 0,94)

Задача 3

Пенсионный вклад в сбербанке в среднем составляет 5000руб. Определите вероятность того, что случайно выбранный вклад не превышает 50 000руб.

Задача 4

В результате анализа торговой деятельности некоторого магазина установлено, что среднемесячные издержки обращения составляют 300 у.е. Оцените вероятность того, что в очередном месяце издержки не выйдут за пределы 280-320 денежных единиц. Известно, что дисперсия издержек равна 16 ден.ед.

Задача 5

Оцените вероятность того, что при 1000 бросаниях монеты герб появится от 400 до 600 раз.

Задача 6

Даны три случайные величины:

^X	^0	^10	^20
^Pi	^1/4	^1/2	^1/4

Значение Х берутся 1000 раз

Y	-20	0	40
Pi	1/4	1/2	1/4

Значение У берутся 2000 раз

Z	-10	0	20	40
Pi	0,2	0,4	0,3	0,1

Значение Z берутся 3000 раз