12.Условная вер.. Теорема умножения вер..

Соб. А называется независимым от события В, если Р(А) не зависит от того, произошло соб. В или нет. Соб. А называется зависимым от соб. В, если Р(А) меняется в зависимости от того, произошло соб. В или нет. Опр.: Вер. соб. А, вычисленная при условии, что имело место другое соб. В, называется условной вер.ю (у.в.) события и обозначается P_В(A) или P(A\B). Условие независимости соб. А от соб. В можно записать в виде P_В(A)=P(A). Условие зависимости соб.: P_B(A)≠P(A). Теорема: Вер. произведения 2-ух событий равна произведению вер. одного из них на у.в. другого, вычисленную при условии, что 1-ая имела место, т.е. P(AB)=P(A) * P_A(B). Док-во: Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что соб. А благоприятствует m случаев, а соб. В – k случаев. Т.к. мы не предполагали соб. А и В несовместными, то существуют случаи благоприяттвующие и соб. А, и соб. В одновременно. Пусть число таких случаев l(эль), тогда вер. соб. АВ будет равна l/n, а P(A)=m/n. Вычислим у.в. соб. В в предположении, что соб. А имело место. Если известно, что соб. А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, кот. благоприятствовали соб. А, а из них только l случаев благоприятствуют соб. В, поэтому P_A(B)= l/m. Подставляя в выражения вер. соб. АВ, вер. событ. А и у.в. соб. В, получаем тождество.

Замечание: При применении теоремы безразлично, какое из соб. А и В считать 1-ым, а какое 2-ым, т.е. P(AB)= P(A)* P_A(B)= P(B) * P_B(A)

13.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

Опр: 2 события назыв. независимыми, если появление любого из них не изменит вер. появления другого, т.е. P(A)=P_B(A) или P(B)=P_A(B). Теорема: Вер. совместного появления 2-ух независимых событий равна произведению их вер-тей, т.е. P(AB)= P(A)*P(B). Док-во: Т.к. соб. А и В независимы, то должно выполняться равенство P(B)=P_A(B). Тогда по теореме умножения вер-тей P(AB)=P(A)*P_A(B)= P(A)*P(B). Следствие: Если соб. А и В независимы, то независимы и соб. А и . Следствие 2: Если 2 события независимы, то независимы и противоположные им события. Теорема: Вер. совместного наступления конечного числа соб. равна произведению вер. одного из них на условные вероятности (у.в.) всех остальных. Причем у.в. каждого последующего соб. вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е. P(A₁*A₂*…A_n)=P(A₁)*P_A1(A₂) * , где - у.в. соб. А_n , вычисленная в предположении, что соб. А₁, А₂… А_n-1 произошли. Опр.: Соб. называются независимыми в совокупности, если наряду с их попарной независимостью независимо любое из них и произведение любого числа из остальных. В противном случае события назыв. зависимыми. Теорема: Вер. совместного появления нескольких соб. независимых в совокупности равна произвед. вер-тей этих соб., т.е. P(A₁*A₂*…A_n)=P(A₁) *P(A₂) *…*P(A_n).

14.Вер. Появления хотя бы одного события

Пусть в рез-те испытания могут появиться n событий, независимых в сов-сти, либо некоторые из них. Причем вер-ти появления каждого из соб. известны. Как найти вер. того, что наступит хотя бы одно из них? Теорема: Вер. появления хотя бы одного из событий А₁, А₂…А_n, независимых в сов-сти равна разности между 1 и произведением вер-тей противоположных соб. , т.е. P(A₁+A₂+…+A_n)=1— P( ) . Док-во: Соб. (ни одно соб. не произошло) и соб. A₁+A₂+…+A_n противоположны, значит P(A₁+A₂+…+A_n)+P( )=1. Отсюда P(A₁+A₂+…+A_n)=1- P( )=1- P( ) (последнее действие - по теореме умножения вер-тей). Частный случай: Если событ. А₁, А₂…А_n имеют одинаковую вер. p, то вер.. появления хотя бы 1 из этих соб. вычисляется по формуле 1- qⁿ, где q=1-p.

53 Проверка гипотезы о законе распределения. Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов заключается в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Основной путь в выявлении закономерности распределения - построение вариационных рядов для достаточно больших совокупностей. Большое значение для выявления закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда: выбор числа групп и размера интервала варьирующего признака. Когда мы говорим о характере, типе закономерности распределения, то имеем в виду отражение в нем общих условий, определяющих вариацию. При этом речь всегда идет о распределениях качественно однородных явлений. Общие условия, определяющие тип закономерности распределения, познаются анализом сущности явления, тех его свойств, которые определяют вариацию изучаемого признака. Следовательно, должна быть выдвинута какая-то научная гипотеза, обосновывающая определенный тип теоретической кривой распределения. Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов (значений признака). Теоретическое распределение может быть выражено аналитически - формулой, которая связывает частоты вариационного ряда и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения. Большое познавательное значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими. Как уже отмечалось, часто пользуются типом распределения, которое называется нормальным. Формула функции плотности нормального распределения:  Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам - средней арифметической ц и среднему квадратическому отклонению ст. Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению. Может проводиться и сравнение частостей. Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о биномиальном распределении, распределении Пуассона и т.д. Причина частого обращения к нормальному распределению в том, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем математической статистики, применяемых для оценки репрезентативности выборок, при измерении связей и т. д. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения. Близость средней арифметической величины, медианы и моды указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Но более полная и точная проверка соответствия распределения гипотезе о нормальном законе производится с использованием специальных критериев, из которых рассмотрим наиболее употребимый критерий χ2 (хи-квадрат) К. Пирсона. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения закону нормального распределения необходимо частоты (частости) фактического распределения сравнить с частотами (частостями) нормального распределения. Значит, нужно по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой нормального распределения f? по формуле (для дискретных рядов): ,  где п - объем выборки; i - величина интервала вариационного ряда. Значение ординат кривой нормального распределения f(t) можно получить по таблицам значения функции:  Проверяемая гипотеза формулируется как Н0: fj = fj альтернаивная - как Н1: fj fj. Проверка гипотезы требует, чтобы был построен теоретический ряд распределения с частотами fj, соответствующими нормальному закону, при тех же значениях параметров распределения  Методика построения теоретического ряда такова: 1. По фактическому интервальному ряду вычисляются значения / для каждой группь< хозяйств по формуле (для интервальных рядов): -для начала и конца интервала. 2. Вычисляется вероятность попадания единицы наблюдения в данный интервал при выполнении гипотезы о нормальном законе: , где |tj| > |tj+1| 3. Определяется теоретическая частота в данной группе, равная произведению объема совокупности на вероятность попадания в данный интервал: 4. Находится значение критерия χ2 по формуле где k — число категорий ряда распределения; j - номер категории; fj - частота эмпирического распределения; f?j - частота теоретического распределения.  При расчете χ2 частоты можно заменить частостями: где pj - частости эмпирического распределения; πj - вероятности теоретического распределения. Если все эмпирические частоты равны соответствующим теоретическим частотам, то χ2 равно нулю. Очевидно, что чем больше отличаются эмпирические и теоретические частоты, тем χ2 больше; если расхождение несущественно, то χ2 должно быть малым. Имеются специальные таблицы критических значений χ2 при 5%-ном и 1%-ном уровнях значимости. Критические значения зависят от числа степеней свободы (d.f. - degrees of freedom) и уровня значимости. Число степеней свободы рассчитывается так: если эмпирический ряд распределения имеет k категорий, то k эмпирических частот f1, f2, …, fk должны быть связаны следующим соотношением: Если параметры теоретического распределения известны, то только k - 1 частот могут принимать произвольные значения, т. е. свободно варьировать, а последняя частота может быть найдена из указанного соотношения. Поэтому говорят, что система из k частот благодаря наличию одной связи теряет одну «степень свободы» и имеет только k — 1 степеней свободы. Кроме того, если при нахождении теоретических частот р параметров теоретического распределения неизвестны, то они должны быть найдены по данным эмпирического ряда. Это накладывает на эмпирические частоты еще р связей, благодаря чему система теряет еще р степеней свободы. Таким образом, число свободно варьируемых частот (а значит, и число степеней свободы) становится равным: d.f. = (k - 1) - р = k - (р + 1). (7.30) Полученное значение критерия χ2 сравнивается с табличным при числе степеней свободы, равном числу групп (с условием Ф. Йейтса), за минусом трех - по числу фиксированных параметров в формуле нормального закона распределения и с учетом равенства сумм теоретических и фактических частот (см. приложение, табл. 4). В первой графе этой таблицы дано число степеней свободы, а в заголовках граф - уровни значимости. Если фактическое значение χ2 превышает табличное при том же числе степеней свободы, то вероятность соответствия распределения нормальному закону меньше указанной. Результаты расчета χ2 по данным табл. 5.6 (глава 5) приведены в табл. 7.5 при х = 30,3; s = 8,44. Сумма теоретических частот нормального распределения меньше суммы фактических частот, так как нормальный закон не ограничен рамками фактических минимума и максимума.