15.Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вер. некоторого соб. А, которое может произойти вместе с одним из соб. H₁,H₂,…,H_n, образующих полную группу несовместных соб. Соб. H₁,H₂,…,H_n будем называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) вычисляется как P(A) = + +…+ = . Т.е. P(A) вычисляется как сумма произведений вер-ти каждой гипотезы на соотв. условную вер. соб. А. Док-во: Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n образуют полную группу, то соб. А может появиться в комбинации с какой-л. из этих гипотез, т.е. A=H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. гипотезы H₁,H₂,…,H_n несовместны, то и комбинации H₁A,H₂A,…,H_nA несовместны. Применяя теорему сложения, получаем P(A)= P(H₁A)+P(H₂A)+…+P(H_nA). Применяя к событию H_iA теорему умножения вер-тей, получаем P(A)= + +…+ .

16.Формула Байеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вер. явл. теорема гипотез или формула Байеса. Поставим след. задачу: имеется полная группа несовместных гипотез H₁,H₂,…,H_n. Вер-ти этих гипотез до опыта известны и равны P(H₁), P(H₂),…, P(H_n). Произведен опыт, в рез-те кот. появилось некоторое соб. А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события? Т.е. нужно найти усл. вер. P_A(H_i) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вер.: P(AH_i)=P(A)* P_A(H_i)=P(H_i)* , ; P_A(H_i)= , . Выражая P(A) с пом. формулы полной в-сти, получаем P_A(H_i)= , . Данная формула – формула Байеса или теоремой гипотез.

17.Формула Бернулли

При решении вер-ых задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в кот. одно и тоже испытание повторяется многократно. В рез-те каждого опыта может появиться или не появиться некоторое соб. А, причем нас интересует не рез-т каждого отдельного опыта, а общее число появлений соб. А в рез-те серии опытов. Модель рассматрив. ситуации выглядит след. образом: проводится n исп-ий, в каждом из кот. соб. А может произойти или нет. Причем вер. соб. в каждом отдельном исп-нии постоянна, т.е. не меняется от исп. к исп. Требуется определить вер. m появлений соб. А в n исп-ях. Подобные задачи решаются довольно легко, если исп-ия явл. независимыми. Опр.: Неск-ко испытаний назыв. независим. относит-но соб. А, если вер. соб. А в кажд. из них не зависит от исходов др. испытаний. Напр, неск-ко последоват. бросаний монет представляют собой независимые опыты. Производится n независимых опытов, в кажд. из кот. может появиться или не появ. некоторое соб.А. Вер. появл. данного соб. в каждом опыте постоянна и равна p, а вер. непоявления=q. Требуется найти вер. P_n(m) того, что соб. А в этих n опытах появится m раз. Рассмотрим событие B_m, состоящ. в том, что соб. А появится в этих n опытах ровно m раз. Разложим соб. B_m на сумму произведения соб., состоящих в появлении или непоявл. соб. А в определ. опыте. Каждый вар-т появл. соб. B_m должен состоять из m появлений соб. А и n-m непоявл. соб. А. B_m=А₁А₂…А_m * … Каждое произв. соб. А должно происходить m раз, а - n-m раз. Число всех комбинаций такого рода равно , т.е. равно числу способов, какими можно из n опытов выбрать m, в кот. произошло соб. А. Вер. каждой такой комбинации по теор. умнож. для независ. соб. равна . Т.к. комбинации между собой несовместны, то по теор. сложения вер. соб. B_m равна . Т.о., если производится n независим. опытов, в кажд. из кот. соб. А появляется с вер. p, то вер. того, что соб. А появится ровно m раз, выражается формулой