- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •3.Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
- •5.Статистическая вероятность.
- •6.Геометрическая вер.
- •7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
- •9Понятие вероятностного пространства
- •12.Условная вер.. Теорема умножения вер..
- •13.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •14.Вер. Появления хотя бы одного события
- •15.Формула полной вероятности
- •16.Формула Байеса
- •17.Формула Бернулли
- •18.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний
- •19.Формула Пуассона
- •20.Функция Лапласа.
- •21.Понятие случайной вел-ны. Дискретные и непрерывные случ. Вел-ны.
- •24.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
- •23.Функция распр. Св и ее свойства
- •24. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
- •25. Мат. Ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. Ожидания.
- •31. Гипергеометрическое распр.
- •29.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
- •30. Биномиальный закон распределения.
- •33. Закон Пуассона
- •35. Показательное распределение.
- •38. Понятие закона больших чисел.
- •39. Неравенство Чебышева.
- •42. Понятие центральной предельной теоремы.
- •43. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •40. Теорема Чебышева.
- •44. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.
- •46. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •48. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.
- •50. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •51. Критерии проверки статистических гипотез.
35. Показательное распределение.
Показательным (экспоненциальным) называют распр. вер. НСВ Х, которое описывается ф-цией плотности вер. , где λ>0 постоянна и называется параметром показательного распр. Примером НСВ, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных соб. простейшего потока, где λ – интенсивность потока. Найдем ф-цию распр. F(x) СВ, распределенной по показательному закону: F(x) = = . Итак,
Определим числовые хар-ки СВ, распределенной по показательному закону. Мат. ожидание: M(X) = = = . Дисперсия: D(X) = = = 2/λ2 – 1/λ2 = 1/λ2. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) = 1/λ и, следовательно, совпадает с мат. ожиданием.
38. Понятие закона больших чисел.
Содержание закона больших чисел в широком смысле: при очень большом числе случ. явлений средний их рез-т практически перестает быть случ. и может быть предсказан с большой степенью опр-сти. В узком смысле слова под законом больших чисел в теории вер. понимается ряд мат. теорем, в каждой из к-рых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних хар-к большого числа опытов к некот. опр. постоянным. Простейшей из этих теорем является т. Бернулли. Она утверждает, что при большом числе опытов частота соб. приближается (точнее – сходится по вер.) к вер. этого соб. Другие, более общие формулировки, устанавливабт факт и условия сходимости по вероятности тех или иных СВ к постоянным, не случайным вел-нам. Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях т.в.. Св-во случ. вел-н при опр. условиях вести себя практически как не случ. позволяет уверенно оперировать с этими вел-нами, предсказывать рез-ты массовых случ. явлений (это большое число выполняемых однородных опытов или большое число складывающихся случ. воздействий, порождающих в своей сов-сти случ. вел-ну, подчиненную вполне опр. закону) почти с полной опр-стью.
39. Неравенство Чебышева.
Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».
Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием(м.о.) mx и Dx. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вер. того, что вел-на Х отклонится от своего м.о не меньше чем на α, ограничена сверху вел-ной Dx/ α2: P(|X - mx |≥α)≤ Dx/ α2. Док-во: Пусть вел-на Х прерывная, с рядом распр.:
Х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Изобразим возм. знач. вел-ны Х и ее м.о mx в виде точек на числовой оси Ox. Зададим некоторым значением α>0 и вычислим вер. того, что вел-на Х отклонится от своего м.о не меньше, чем на α: P(|X - mx |≥α) – формула (1). Для этого отложим от точки mx вправо и влево по отрезку длиной α; получим отрезок АВ. Вер. (1) есть не что иное, как вер. того, что случ. точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - mx |≥α) = P(XAB). Для того, чтобы найти эту вер., нужно просуммировать вер. всех тех знач. Х, кот. лежат вне отрезка АВ. Запишем это следующим образом: P(|X - mx |≥α) = - формула (2), где запись |X - mx |≥α под знаком суммы ознаачет, что суммирование распространяется на все те знач., для которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С другой стороны напишем выражение дисперсии вел-ны Х: D(X) = M[(X - mx)2] = - формула (3). Т.к. все члены суммы (3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все знач. Х, а только на некоторые, в частности на те, кот. лежат вне отрезка АВ: D(X) ≥ . Заменим под знаком суммы выражение |X - mx | через α. Т.к. для всех членов суммы |X - mx |≥α, то от такой замены сумма тоже может уменьшиться; значит, D(X) ≥ . Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в правой части последнего рав-ва есть не что иное, как вер. попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, D(X) ≥ α2P(|X - mx |≥α), откуда непосредственно вытекает доказываемое нер-во. В случае, когда вел-на Х непрерывна, док-во проводится аналогичным образом с заменой вер. p элементом вер., а конечных сумм – интегралами. Действительно, P(|X - mx |>α) = , где f(x) – плотность распр. вел-ны Х. Далее, имеем: D(X) = ≥ , где знак |X - mx |>α под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя |X - mx | под знаком интеграла через α, получим: D(X) ≥α2* = α2P(|X - mx |>α), откуда и вытекает нер-во Чебышева для непрерывных величин.