- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •3.Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
- •5.Статистическая вероятность.
- •6.Геометрическая вер.
- •7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
- •9Понятие вероятностного пространства
- •12.Условная вер.. Теорема умножения вер..
- •13.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •14.Вер. Появления хотя бы одного события
- •15.Формула полной вероятности
- •16.Формула Байеса
- •17.Формула Бернулли
- •18.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний
- •19.Формула Пуассона
- •20.Функция Лапласа.
- •21.Понятие случайной вел-ны. Дискретные и непрерывные случ. Вел-ны.
- •24.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
- •23.Функция распр. Св и ее свойства
- •24. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
- •25. Мат. Ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. Ожидания.
- •31. Гипергеометрическое распр.
- •29.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
- •30. Биномиальный закон распределения.
- •33. Закон Пуассона
- •35. Показательное распределение.
- •38. Понятие закона больших чисел.
- •39. Неравенство Чебышева.
- •42. Понятие центральной предельной теоремы.
- •43. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •40. Теорема Чебышева.
- •44. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.
- •46. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •48. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.
- •50. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •51. Критерии проверки статистических гипотез.
7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
Комбинаторика — это область математики, в кот. изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из заданных объектов. Существует 2 правила, кот. применяются при решении комбинаторных задач: 1) правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары АВ можно осуществить m*n способами; 2) правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.
Выделяют 3 типа выборок.1.Размещения. Если одна выборка отличается от другой порядком следования эл-тов и составом эл-тов, то они называются размещениями. Их число находится по формуле: nm = n!/(n-m)!; размещение с повторениями: Ᾱnm=nm
2.Перестановки.Если одна выборка отличается от другой только порядком следования эл-тов, то такие выборки называются перестановками. Pn=n!;
перестановки с повторением: =(k1+k2+…+kn)! / k1!k2!…kn!. ki – число повторяющихся элементов каждого вида.
3.Сочетания. Если одна выборка отличается от другой составом эл-тов, но не важен порядок следования эл., то такие выборки называются сочетаниями. Cnm=n! / m!(n-m)!; сочетание с повторением: =(n+m-1)! / m!(n-1)!
.
9Понятие вероятностного пространства
Тройку( , F, P), в кот. Р удовлетворяет аксиомам Kолмогорова 2-5, а F является σ-алгебр. событий, называют вероятностным простр-вом. Из определения вероятности вытекают след. св-ва вероятности на этом простр-ве: 1) P( )=0, вер. невозможного события; 2) P(Ā)=1-P(A); 3) Если A B, то P(A) P(B); 4) 0 P(A) 1; 5) P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB); 6) P(A+B) P(A)+P(B).
10.Теорема сложения вер. для несовместных событий.
Пусть события А и В несовместны, причем вероятности этих событий известны. Теорема: Вер. появления одного из 2-ух несовместн. Событий (безразлично какого) равна сумме вер. этих событий, т.е. P(A+B) = P(A)+P(B). Док-во: Пусть n – число возм. элементарных исходов (Э.И.) испытания. m1 – число исходов, благоприятствующих соб. А; m2 – число исходов, благоприятств. соб. В. Тогда P(A)=m1/n; P(B)=m2/n. Т.к события А и В несовместны, то нет таких исходов, кот. благоприятствовали бы одновремен. и соб. А, и соб. В. Поэтому соб. А+В благоприятствует m1+m2 Э.И. испытания. Тогда P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B). Следствие: Вер. появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вер. этих событий, т.е. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) или P( i)=
Теорема: Сумма вер. событий А1, А2…Аn, образующих полную группу равна 1, т.е. P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1. Док-во: Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вер. достоверн. события равна 1, то P(A1+A2+…+An)=1. Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
Теорема: Сумма вер-тей противоположных событий(П.С.) равна 1, т.е. P(A)+P(Ā)=1. Док-во: П.С. образуют полную группу, а сумма вер. событий, образующих полную группу равна 1. Замечание: Если вер. одного из П.С. обозначить за p, а вер. другого через q, то предыдущую формулу можно записать в виде: p+q=1.
11.Теорема сложения вер. для совместных событий
Опр.: События А и В назыв. совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании, т.е. есть элементарные события, входящие и в соб. А, и в соб. В. Теорема: Вер. появления хотя бы 1 из 2-ух совместных событий равна сумме вер. этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Док-во: Пусть в рез-те опыта возможны N равновозможных исходов. (сделать рис с кружками) Пусть далее соб. А благоприятствует М исходов, а соб. В - К исходов. События А и В совместны, поэтому часть указан. исходов благоприятствует и соб. А, и соб. В. Предположим, что таких исходов L, тогда P(A)=M/N, P(B)=K/N, P(AB)=L/N. Соб. А+В заключается либо в наступлении соб. А, либо соб. В, либо соб. АВ, поэтому ему будет благоприятствовать M+K-L исходов. (сделать рис) Тогда P(A+B)=(M+K-L)/N=M/N+K/N-L/N. Вер. суммы 3-ёх совместных событий вычисляются по формуле: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)