40. Теорема Чебышева.

Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием.

Теор.: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию. Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что СВ Х_n сходится по вероятности к величине а, если при увеличении n вероятность того, что Х_n и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом n P(|Х_n – a|<ε)>1 – δ, где ε, δ – произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении n среднее арифметическое сходится по вероятности к m_x, т.е. P(| - m_x|<ε)> 1 – δ. Докажем это нер-во. Величина Y = имеет числовые хар-ки m_y = m_x; D_y = D_x/n. Применим к СВ Y нер-во Чебышева, полагая , что α = ε: P(|Y - m_y| ≥ε) ≤ D_y/ε² = D_x/n ε². Как бы мало ни было число ε, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось нер-во D_x/n ε²<δ, где δ – сколь угодно малое число. Тогда P(| - m_x|≥ε) <δ, откуда, переходя к противоположному событию, имеем: P(| - m_x|<ε)> 1 – δ, что и требовалось доказать.

44. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.

Интервальный стат. ряд распр., представленный графически, назыв. гистограммой(Г), которая строится след. образом. По оси абсцисс откладываются интервалы [x_i;x_i+1[, и на каждом из них строится прямоугольник площадью W_i , т.е. высота h_i= W_i /(x_i+1 - x_i). Из способа построения Г следует, что ее площадь равна 1. В т. вер. Г соответствует график плотности распр. вер.. Если экспериментальный материал описывает реализации дискретной СВ Х, то знач. наблюдений x_i располагают в возрастающем порядке. При этом x_i называют вариантами, а посл-сть вариант, записанных в возраст. порядке, — вариационным рядом. Число появлений наблюдения x_i называют абс. частотой m_i. Знач. наблюдений и соотв. абс. частоты можно записать в виде таблицы, кот. называется стат. рядом распр. или частотной таблицей. Если на плоскости нанести точки (x_i, m_i) и соединить их отрезками прямых линий, то получим полигон частот, который называют еще частотным многоугольником. Если на плоскости нанести точки (x_i, m_i/n) и соединить их отрезками прямых линий, получим полигон относит. частот. Г. и полигон частот выборочного распр. можно использовать для подбора модели распр. изучаемой случайной вел-ны Х.

48. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.

Опр.: эмпирической ф-цией распр. называется относ. частота события {X<x} в данной выборке знач. СВ Х, т.е. (x) = P(X<x) = m_x/n, где m_x – число x_i, меньших х; n – объем выборки. Вел-на n (x) равна числу элементов выборки, которые меньше х. Из т. Бернулли следует, что эмпирическая ф-ция (x) при увеличении n (n→∞) сходится по вероятности к подлинной ф-ции распр. F(x). Поэтому (x) используется для оценки ф-ции распр. F(x). Св-ва эмпирической ф-ции распр.: 1) Знач. эмпирич. ф-ции распр. принадлежат отрезку [0;1]; 2) Эмпирич. ф-ция распр. (x) – неубывающая ф-ция; 3) Если x< x₁, где x₁ – наименьшее наблюденное значение, то (x) = 0; при x> x_n, где x_n – наибольшее наблюденное значение, (x) = 1. Эти св-ва следуют из определения эмпирической ф-ции распр..