- •Частина і Теорія ймовірностей
- •Т. М. Сукач, 2009
- •Рекомендована література.....................................................134 Додатки .....................................................................................135 Передмова
- •1.1 Основні формули комбінаторики
- •Розв’язання. Шукана кількість п’ятизначних чисел дорівнює різниці
- •1.2 Тренувальні вправи
- •2.1 Алгебра подій. Операції над подіями
- •Приклади вірогідних подій:
- •1) Випадання «герба» або «решки» при киданні монети;
- •2) Настання ночі по закінченні дня.
- •2.2 Класичне означення ймовірності
- •2.3 Алгебра ймовірностей
- •2.4 Формула повної ймовірності. Формула Байєса
- •2. 5 Повторення випробувань
- •2.5.1 Формула Бернуллі
- •2.5.2 Формула Пуассона
- •2.5.3 Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •2.5.4 Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
- •2.6 Тренувальні вправи
- •2.7 Індивідуальні семестрові завдання №1-4 Індивідуальне семестрове завдання №1
- •2.8. Зразки виконання індивідуальних семестрових завдань №1-4
- •3.1 Випадкові величини та функції розподілу
- •3.2 Дискретні випадкові величини
- •Багатокутник розподілу
- •Гіпергеометричний розподіл
- •Функція розподілу ймовірностей має вигляд
- •3.3 Тренувальні вправи
- •3.4 Індивідуальне семестрове завдання №5
- •3.5 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №5
- •3.6 Неперервні випадкові величини
- •3.7 Тренувальні вправи
- •3.8 Індивідуальне семестрове завдання №6
- •3.9 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №6
- •3.10 Нормальний закон розподілу
- •3.11 Тренувальні вправи
- •3.12 Індивідуальне семестрове завдання №7
- •3.13 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №7
- •3.14 Закон великих чисел
- •3.15 Тренувальні вправи
- •3.16 Зразки контрольних робіт з теорії ймовірностей
- •3.17 Питання до колоквіуму з курсу теорії ймовірностей
- •Додатки
- •Продовження додатку 1
Гіпергеометричний розподіл
Припустимо, що в партії з N виробів знаходяться M стандартних . З партії навмання відбирають п виробів. Визначимо через Х випадкову величину — число т стандартних виробів серед п відібраних.
Ймовірність того, що з п відібраних т стандартних знаходиться за формулою:
.
Приклад 5. Серед 50 виробів 20 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання вийнятих 5 виробів стандартними будуть 3 вироби.
Розв’язання. .
.
Числовими характеристиками випадкових величин є математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, мода і медіана, асиметрія і ексцес.
Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутків значень випадкової величини на ймовірності цих значень
.
Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом, обчислюється за формулою
,
де — число можливих значень випадкової величини;
— імовірність появи події А в такому випробуванні.
Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання
.
Дисперсію зручно обчислювати за формулою
.
Дисперсія випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом, дорівнює добутку числа випробувань, на ймовірність появи й не появи події в даному випробуванні:
.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь із дисперсії:
.
Властивості математичного сподівання (МС)
1. МС постійної величини дорівнює їй самої .
2. Постійний множник можна виносити за знак МС.
3. МС суми випадкових величин дорівнює МО доданків:
.
4. МС добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку МС співмножників
.
5. МС біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події при даному випробуванні
.
Властивості дисперсії
1. Дисперсія сталої дорівнює нулю .
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, попередньо звівши його у квадрат:
.
3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків:
.
4. Дисперсія біноміального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи й не появи події в одному випробуванні
.
Модою дискретної випадкової величини х називається найбільш ймовірне її можливе значення.
Медіаною випадкової величини х таке її можливе значення, для якого справджується рівність
.
Початковим моментом порядку випадкової величини х називається математичне сподівання величини и обозначається:
.
Для д.в.в.
.
Центральним моментом порядку випадкової величини х називається математичне сподівання величини и обозначається:
.
Для д.в.в.
.
Приклад 1. Знайти МС дискретної випадкової величини , заданої законом розподілу:
-
х
– 4
6
10
р
0,2
0,3
0,5
Розв’язання: МС = .
Приклад 2. Знайти МС випадкової величини z, якщо відомі МС х и у:
.
Розв’язання. .
Приклад 3. Знайти МС дискретної випадкової величини х – числа кидків п'яти гральних кубиків, у кожному з яких на двох кубиках з'явиться по одному очку, якщо загальне число кидків дорівнює 20.
Розв’язання. .
За формулою Бернуллі:
.
.
.
Приклад 4. Імовірність того, що в бібліотеці необхідна студентові книга вільна, дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу випадкової величини х – числа бібліотек, які відвідає студент, якщо в місті 4 бібліотеки. Обчислити МС й дисперсію цієї випадкової величини.
Розв’язання. х = 1 (якщо книга є в бібліотеці). = 1, 2, 3, 4.
1) Якщо книга є в першій бібліотеці: .
2) Якщо книга є в 2-й бібліотеці, то .
3) Якщо книга є в 3-й бібліотеці, то .
4) Якщо книга є в 4-й бібліотеці, то .
5) таким чином, закон розподілу представимо в таблиці:
х |
1 |
2 |
3 |
4 |
р |
0,3 |
0,21 |
0,147 |
0,343 |
Контроль: 0,3 + 0,21 + 0,147 + 0,343 = 1.
6) МС даної випадкової величини:
.
7) Для обчислення дисперсії складемо спочатку закон розподілу випадкової величини :
|
1 |
4 |
9 |
16 |
р |
0,3 |
0,21 |
0,147 |
0,343 |
.
8) Тоді
.
Приклад 5. Знайти дисперсію й середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини х, заданої законом розподілу:
х |
-5 |
2 |
3 |
4 |
р |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
Розв’язання. За формулою
1) МС: .
2) Складемо закон розподілу для :
|
25 |
4 |
9 |
16 |
Р |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
3) Знайдемо МС для :
.
4) Знайдемо шукану дисперсію:
.
5) Знайдемо середнє квадратичне відхилення:
.
Приклад 6. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини х – числа появи події А в п'ятьох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в кожнім випробуванні дорівнює 0,2.
Розв’язання. (незалежно, с однаковою ймовірністю).
За умовою: п = 5, р = 0,2, q = 1 – 0,2 =0,8.
Тоді:
.
Приклад 7. Дискретна випадкова величина х задана законом розподілу:
х |
4 |
8 |
12 |
р |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
Знайти функцію розподілу й накреслити її графік.
Розв’язання.
1) Якщо , то .
2) Якщо , то , тому що величина х може прийняти значення з імовірністю 0,5.
3) Якщо , то , тому що х може прийняти значення 4 з імовірністю 0,5; а 8 з імовірністю 0,2; по сумі ймовірностей .
4) Якщо , то ймовірність , тому що – достовірна.