2.8. Зразки виконання індивідуальних семестрових завдань №1-4
Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №1, 3
1) Скільки п’ятизначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожна цифра входить до складу числа тільки один раз?
Розв’язання. Шукана кількість п’ятизначних чисел дорівнює різниці:
.
2) Скількома способами група з 16 студентів може обрати на конференцію делегацію з 4 осіб.
Розв’язання. Число можливих способів дорівнює:
.
3) В партії із 8 деталей 6 стандартних. Найти ймовірність того, що серед 4-х взятих навмання деталей 2 будуть стандартними.
.
— 2 стандартних із 6, причому
— нестандартні.
— 2 нестандартних із 2, що залишилися.
.
.
4) В урні10 куль: 6 білих і 4 чорних. Вийняли 2 кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі білі?
.
5) В урні 12 куль: 3 білих, 4 чорних і 5 червоних. Вийняли 5 куль. Яка ймовірність того, що із вийнятих 5 куль 3 виявляться червоними, а 2 чорними?
.
Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №2
1) В урну, що містить 2 кулі, опущена біла куля, після чого з неї навмання витягнута одна куля. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первісний склад куль за кольорами.
Розв’язання. Позначимо через подію
А — “витягнута біла куля”. Можливі
наступні припущення (гіпотези) про
первісний склад куль:
— “білих куль немає”,
— “одна біла куля”,
— “дві білих кулі”.
Імовірність кожної гіпотези:
.
1). Умовна ймовірність того, що вийнята біла куля, за умови, що спочатку в урні не було білих куль
.
2). Умовна ймовірність
(якщо в урні була одна біла куля).
3).
(в урні було 2 білих кулі).
4). Шукану ймовірність того, що буде витягнута біла куля, знайдемо за формулою повної ймовірності, але для трьох гіпотез:
.
2) Дві стрільця незалежно один від іншого стріляють по одній мішені, роблячи кожний по одному пострілі. Ймовірність влучення в мішень для першого стрільця 0,7, а для другого – 0,3.
Після стрілянини в мішені виявлена одна пробоїна. Знайти ймовірність того, що в мішень потрапив перший стрілець.
Розв’язання. Можливі наступні гіпотези:
— жоден, ні другий не потраплять;
— обоє потраплять;
— перший стрілець потрапить, другий не потрапить;
— перший стрілець не потрапить, а другий
потрапить.
.
.
.
.
Нехай А – подія, що складається в тім, що буде одна пробоїна.
Умовні ймовірності події для цих гіпотез:
.
Ймовірність гіпотези :
.
3) Кидаємо монету 6 раз. Знайти ймовірність того, що герб випаде 1, 2, 3, 4, 5, 6 разів.
Згідно з формулою (1) маємо:
.
Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №4
Проведено незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з імовірністю .
а) За локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно разів;
б) За інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до разів (№ - номер варіанта, № = 20).
Розв’язання. а)
1)
.
,
де
.
2) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:
3) Знайдемо :
.
З
таблиці додатка 1 знайдемо
.
4) Шукана ймовірність
.
б) За інтегральною теоремою Лапласа
.
1) Знайдемо:
.
.
2)
.
3) З таблиці додатку 2 знайдемо:
.
4) Шукана ймовірність:
.
РОЗДІЛ ІІІ. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ