- •Частина і Теорія ймовірностей
- •Т. М. Сукач, 2009
- •Рекомендована література.....................................................134 Додатки .....................................................................................135 Передмова
- •1.1 Основні формули комбінаторики
- •Розв’язання. Шукана кількість п’ятизначних чисел дорівнює різниці
- •1.2 Тренувальні вправи
- •2.1 Алгебра подій. Операції над подіями
- •Приклади вірогідних подій:
- •1) Випадання «герба» або «решки» при киданні монети;
- •2) Настання ночі по закінченні дня.
- •2.2 Класичне означення ймовірності
- •2.3 Алгебра ймовірностей
- •2.4 Формула повної ймовірності. Формула Байєса
- •2. 5 Повторення випробувань
- •2.5.1 Формула Бернуллі
- •2.5.2 Формула Пуассона
- •2.5.3 Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •2.5.4 Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
- •2.6 Тренувальні вправи
- •2.7 Індивідуальні семестрові завдання №1-4 Індивідуальне семестрове завдання №1
- •2.8. Зразки виконання індивідуальних семестрових завдань №1-4
- •3.1 Випадкові величини та функції розподілу
- •3.2 Дискретні випадкові величини
- •Багатокутник розподілу
- •Гіпергеометричний розподіл
- •Функція розподілу ймовірностей має вигляд
- •3.3 Тренувальні вправи
- •3.4 Індивідуальне семестрове завдання №5
- •3.5 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №5
- •3.6 Неперервні випадкові величини
- •3.7 Тренувальні вправи
- •3.8 Індивідуальне семестрове завдання №6
- •3.9 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №6
- •3.10 Нормальний закон розподілу
- •3.11 Тренувальні вправи
- •3.12 Індивідуальне семестрове завдання №7
- •3.13 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №7
- •3.14 Закон великих чисел
- •3.15 Тренувальні вправи
- •3.16 Зразки контрольних робіт з теорії ймовірностей
- •3.17 Питання до колоквіуму з курсу теорії ймовірностей
- •Додатки
- •Продовження додатку 1
2.4 Формула повної ймовірності. Формула Байєса
Нехай подія може наступити лише з появою однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу подій.
Припустимо, що відомі ймовірності цих подій й умовні ймовірності події А.
Як знайти ймовірність події А? Відповідь на це запитання дає наступна теорема.
Теорема 1. Імовірність події А, що може наступити лише з появою однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу подій, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з подій на відповідну умовну ймовірність події А:
,
де – імовірність події А, обчисленої за умови, що подія вже відбулася.
Ця формула називається формулою повної ймовірності.
Приклад 1. Є два набори деталей. Імовірність того, що деталь з першого набору стандартна, дорівнює 0,6, а аз другого – 08. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь з навмання взятого набору буде стандартна.
Розв’язання. Нехай А – подія, ймовірність якої треба знайти, тобто вийнята деталь стандартна. Таку деталь можна вийняти з першого набору (гіпотеза ), або з другого набору (гіпотеза ). Через то, що ці гіпотези однаково можливі, то . Умовна ймовірність того, що з першого набору буде вийнято стандартну деталь , а з другого – .
Шукана ймовірність знаходиться за формулою повної ймовірності
.
Нехай подія А може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) , які утворюють повну групу подій. Якщо подія А вже відбулася, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулою Байєса:
,
де обчислюється по i.
Приклад 2. Нехай за умови попереднього прикладу вийнято стандартну деталь. Знайти ймовірність того, що її вийнято з першого набору.
Розв’язання. За формулою Байєса, підставляючи значення відповідних імовірностей (позначення ті ж, що і в попередній задачі), одержимо
.
2. 5 Повторення випробувань
2.5.1 Формула Бернуллі
Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з ймовірністю ; ймовірність настання події при будь-якому випробуванні не залежить від результатів інших випробувань.
Потрібно знайти ймовірність того , що подія настане точно раз. Ця ймовірність знаходиться за формулою Бернуллі.
, (1)
де – ймовірність не настання події при одному випробуванні.
Приклад 1. Кидаємо монету 6 раз. Знайти ймовірність того, що герб випаде 1, 3, 5 разів.
Згідно з формулою (1) маємо:
.
Приклад 2. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться три рази в чотирьох випробуваннях, якщо ймовірність її появи в одному випробуванні дорівнює 0,1.
Розв’язання. Шукана ймовірність
.
Число , при якому ймовірність найбільша, називається найімовірнішим числом настання події .
– ціла частина числа . Якщо число – ціле, то також буде найімовірнішим числом настання події .
2.5.2 Формула Пуассона
Має місце рівність
, (1)
де .
Ця формула дає досить точне наближення при великих та малих ймовірностях (закон рідких явищ), для яких , але . Для знаходження ймовірностей (1), а також сум , можна користуватись спеціальними таблицями.
Приклад 1. Для кожного абонента ймовірність подзвонити на комутатор протягом однієї години дорівнює 0,01. Комутатор обслуговує 300 абонентів. Знайти ймовірність того, що протягом години подзвонять:
1) 4 абонента;
, , , , λ=np=3,
2) не більш 4 абонентів: