3.13 Зразок виконання індивідуального семестрового завдання №7

1) Відомо математичне сподівання й середнє квадратичне відхилення нормального розподілу випадкової величини Х. Знайти:

а) імовірність того, що в результаті випробувань прийме значення в інтервалі ;

б) імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менше 2.

Розв’язання.

а) Імовірність влучення випадкової величини Х у інтервал :

.

— непарна,

б) Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:

.

Підставляючи даної задачі, будемо мати

.

3.14 Закон великих чисел

Однією з основних задач теорії ймовірності є встановлення закономірностей, що мають місто з імовірністю, близькою до одиниці, і особливо таких закономірностей, які виникають у результаті спільної дії незалежних випадкових факторів. Закон великих чисел і є одним із найважливіших тверджень такого типу.

Нерівність Чебишова. Нехай випадкова величина має скінчене математичне сподівання і скінчену дисперсію . Тоді для будь-якого справджується нерівність:

.

Переходячи до протилежної події, дістанемо

.

Приклад 1. Пристрій складається з 10 незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента за час Т дорівнює 0,05. За допомогою нерівності Чебишова оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, що відмовили, і середнім числом (математичним сподіванням) відмови за час Т буде:

а) менше двох;

б) не менше двох.

Розв’язання

а) Позначаємо через Х дискретну випадкову величину – число елементів, що відмовили, за час Т. Тоді:

.

.

Скористаємося нерівністю Чебышова:

^.

Підставляючи , одержимо:

.

б) Події й протилежні, тому сума ймовірностей дорівнює 1. Отже:

.

Теорема Чебишова (закон великих чисел). Нехай - послідовність попарно незалежних випадкових величин з однаковими математичними сподіваннями а і дисперсіями, обмеженими однією тією же сталою

.

Тоді

або

.

Ця теорема дає змогу обґрунтувати правило середнього арифметичного. Нехай треба виміряти деяку фізичну величину a. Здійснивши n незалежних вимірювань, ми дістанемо n значень цієї величини. Кожне значення є випадковою величиною. При цьому вважатимемо, що математичне сподівання кожної з цих величин дорівнює: . Ця умова означає, що вимірювання позбавлено систематичних помилок. Крім того, вважатимемо, що дотримано умову . Це означає, що всі вимірювання здійсняються з деякою гарантованою точністю. За цих умов при достатньо великому числі вимірювань з імовірністю, як завгодно близькою до одиниці, середнє арифметичне результатів вимірювань буде як завгодно мало відрізнятися від вимірюваної величини.

Теорема Бернуллі. Нехай т - число появ події при послідовних незалежних випробуваннях, в кожному з яких імовірність настання події дорівнює .

Тоді

або

.

Теорема Маркова. Нехай для кожної з випадкових величин існує скінчене математичне сподівання і виконується умова

.

Тоді

.

Центральна гранична теорема. Нехай - послідовність взаємно незалежних однаково розподілених випадкових величин, , , - скінчені (і = 1, 2,… ).

Тоді:

Центральна гранична теорема пояснює велике поширення нормального закону розподілу. Якщо випадкова величина формується під впливом багатьох незалежних факторів, кожен із яких здійснює на неї незначний вплив, то розподіл цієї величини мало відрізняється від нормального.

Приклад 2. Імовірність появи події А в кожнім випробуванні дорівнює 0,5. Використовуючи нерівність Чебышева, оцінити ймовірність того, що число Х появ події А укладено в межах від 40 до 60, якщо буде зроблено 100 незалежних випробувань.

Розв’язання

1) Знайдемо математичне сподівання й дисперсію випадкової величини х – числа появ події А в 100 незалежних випробуваннях.

; .

2) Знайдемо максимальну різницю між заданим числом появ подій і математичним сподіванням :

.

3) Скористаємося нерівністю Чебишова у формі

.

Підставляючи , , , одержимо:

.

Приклад 3. Дискретна випадкова величина х задана законом розподілу:

х	0,3	0,6
р	0,2	0,8

Використовуючи нерівність Чебишова, оцінити ймовірність того, що:

.

Розв’язання

1) Знайдемо математичне сподівання й дисперсію величини х:

.

.

2) Скористаємося нерівністю Чебишова у формі

.

Підставляючи:

одержимо

.