3.4. Теорія корисності та її основні елементи

Проблема раціонального вибору є однією з основних економічних задач. її постійно розв'язують усі суб'єкти економічних відносин: виробники намагаються найвигідніше вкласти капітал у виробництво продукції, яка прино­сить дохід; споживачі прагнуть придбати товари з високою споживчою цінністю за прийнятною ціною; інвестори на­магаються зробити вкладення, які б підвищили вартість капіталу фірми, тощо. Кожна з цих задач розв'язується в умовах ризику та невизначеності. Принцип оптимальності прийняття рішень для цих задач нерідко описується фун­кцією корисності.

Корисність — ступінь задоволення суб'єкта від споживання това­ру (отримання послуги) чи виконання будь-якої дії.

В економічному аналізі корисність часто застосовують для того, щоб описати пріоритети у ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг (за припущення, що людина завжди робить раціональний вибір, тобто обирає той варіант, корисність якого, на її думку, максимальна). Поняття функції корисності дає змогу порівняти споживчий ефект від купівлі (продажу) різних, навіть фізично несумісних, товарів. Корисність розглядають як узагальнені у певний спосіб витрати чи виграші, коли всі цінності зведено до од­нієї шкали. Для вимірювання корисності можна викорис­товувати універсальну одиницю «ютил» (від англ. utility — корисність) або приводити показник до довільних одиниць (наприклад, грошових).

Для визначення корисності в умовах ризику вводять загальноприйняте поняття лотереї, де експерту пропону­ють порівняти дві альтернативи:

1) значення показника X;

2) лотерею — отримати Хmin з імовірністю (1-р) або Xmax з імовірністю р. Величину імовірності р змінюють доти, до­ки, на погляд експерта, значення показника X і лотерея L(Хmin, р, Xmax) не стануть еквівалентними (X L(Хmin, р, Xmax)). Корисність найгіршого результату зазвичай оціню­ється як 0 (U(Xmin) = 0), а найкращого — 1 або 100 (можуть бути довільні значення, але завжди U(Xmin) < U(Xmax)).

Приклад

Розглядають два варіанти інвестування коштів (20 тис. грн.):

1)придбання державних безризикових облігацій із до­ходом 1000 грн. (імовірність 1);

2) гра (лотерея): виграш 2100 грн. з імовірністю 0,5 і програш 50 грн. (накладні витрати на організацію) з імо­вірністю 0,5.

Необхідно дати рекомендації щодо напряму інвесту­вання.

Розв' язування:

1. Середній виграш:

— придбання державних облігацій 1000 × 1=1000 грн.;

• гра (лотерея) 2100×0,5-50×0,5 = 1025 грн.

Висновок: стосовно середнього виграшу розглянуті альтернативи майже еквівалентні, і якщо гравець ней­тральний до ризику, він вибере другий варіант. Якщо він схильний чи несхильний До ризику, то вибір буде залежа­ти від фінансового стану гравця. Гравці з незначним гро­шовим доходом не будуть ризикувати, віддадуть перевагу гарантованому виграшу. Для осіб із достатнім капіталом програш 50 грн. незначний, і вони ризикуватимуть. Обов'язково ризикуватимуть авантюристи (особи з патологічною схильністю до ризику).

Раціональну поведінку дослідили американські еко­номісти Джон фон Нейман (1903—1957) та Оскар фон Моргенштерн (1902—1977)1. Вони вивели її основні ак­сіоми.

Аксіома 1 (повноти). Коли підприємець стикається з двома будь-якими низками подій, він завжди може визна­чити, чи якась із них йому більше до вподоби, або йому байдуже, яку послідовність подій вибрати: X > У (X біль­ше до вподоби, ніж У); X ≥ У (X більше до вподоби або бай­дуже X чи У); X У (X і У рівноцінні). Ця аксіома є осно­вою класифікації чи порівнювання послідовності подій, тобто дає змогу порівнювати всі альтернативи.

Аксіома 2 (транзитивності). Перевага різних низок подій послідовна, тобто, якщо X > У, У > Z, то X > Z. Це дає змогу уникнути фактора мінливості смаків суб'єкта (правильний вибір можливий лише за наявності усталеного смаку).

Аксіома 3 (неперервності). За умов дотримання аксіоми транзитивності, якщо суб'єкт з імовірністю 1 може отрима­ти альтернативу X, імовірністю p і (1-р) — відповідно альтер­нативи У та Z, існує таке р, за якого набори X та У + Z рівно­цінні.

Аксіома 4 (незалежності). Нехай існують блага X та У, які, за оцінкою суб'єкта, однакові, та дві лотереї, які від­різняються лише тим, що одна містить X, а друга — У, то­ді ці дві лотереї для суб'єкта однакові.

Аксіома 5 (нерівних ймовірностей). Якщо суб'єктові запропонувати дві лотереї, які дають однаковий виграш із різною ймовірністю, то він обирає ту, ймовірність виграшу якої більша.

Аксіома 6 (складеної лотереї). Коли виграшем однієї лотереї є білет іншої лотереї, то суб'єкт приймає рішення лише з міркувань ймовірності кінцевого виграшу.

За Нейманом корисність варіанта X визначається імовір­ністю р(Х), при якій особі байдуже, що обирати: X — гарантовано, чи лотерею L(Хmin, р, Xmax).

Нехай лотерея L забезпечує виграш (події) Х1, Х2,..., Xn із відповідними ймовірностями p1, р2, …. рn і корисностями U(X1), U(Х2), ... U(Xn). Середній виграш (математичне спо­дівання) і очікувану (середню, найбільш імовірну) корис­ність визначають відповідно за формулами:

де X, U (Х) — середній виграш і очікувана (середня) ко­рисність виграшу; Xi, — і-й варіант виграшу (події); рi — ймовірність і-го варіанта виграшу; U(Хi) — корисність і-го варіанта виграшу.

Взаємозв`язок ризику з корисністю визначається по­няттям детермінованого еквівалента лотереї: гарантована сума X, отримання якої еквівалентне в лотереї і забезпечує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій спра­ві, тобто U( ) = (Х). Це дає змогу сформувати умови схильності та несхильності до ризику:

1) особу, що приймає рішення (ОПР), називають не­схильною до ризику, коли для неї найпріоритетнішим є от­римання гарантованого виграшу, а не участь у лотереї: U( ) (Х);

2) ОПР схильна до ризику тоді, коли вона прагне взяти участь у лотереї, ризикуючи збільшити або втратити га­рантований виграш U( ) < (Х);

3) ОПР байдужа до ризику за умов однакової кориснос­ті гарантованого виграшу і участі у лотереї U( ) = (Х).

Премію (надбавку) за ризик у лотереї визначають як різницю між очікуваним виграшем і детермінованим екві­валентом ( (Х) = -Х). За фізичним змістом вона пока­зує суму в одиницях виміру (наприклад, грошових) показ­ника X, якою суб'єкт управління згоден поступитись із се­реднього виграшу, щоб уникнути ризику, пов'язаного з лотереєю, і отримати гарантований дохід.

Перед ОПР може постати проблема, яка полягає в то­му, що особа прагне відмовитися від лотереї, що є менш привабливою, ніж стан, у якому ОПР перебуває. При цьо­му виникає питання, скільки б вона заплатила (в одини­цях вимірювання) за неучасть у цій лотереї (уникнення її). Цю величину називають страховою сумою, вона дорівнює детермінованому еквіваленту із протилежним знаком (СС(Х)=Х- ).

Дж. фон Нейман та О. фон Моргенштерн доводять те­орему про існування функції, що регулює раціональний вибір, — функції корисності. Прийнято вважати, що за­гальна корисність грошей має тенденцію до зростання із збільшенням суми. Одночасно гранична корисність (приріст) кожної додаткової грошової одиниці з точки зору різних суб'єктів змінюється по-різному. Для особи, не­схильної до ризику, гранична корисність додаткових одиниць зменшується тому, що насущні потреби (в хар­чуванні, одязі, житлі) задовольняються за рахунок «пер­ших» грошових одиниць, а наступні грошові одиниці їй уже не так потрібні. Графік функції корисності для особи, несхильної до ризику, увігнутий («дзвоном», чи верши­ною, догори). Для індивідів з нейтральним ставленням до ризику гранична корисність постійна (графік функції ко­рисності — пряма), а для схильних до ризику вона зростає: чим більше грошей має суб'єкт, тим більше хоче одержати (вершиною вниз) (рис. 3.5).

Рисунок 3.5 - Корисність для різних типів відношення до ризику

Ставлення до ризику залежить не лише від особливос­тей характеру і психології суб'єкта, а й від його фінансово­го стану, тобто від того, яку частку становить «ризикова» сума від загального грошового статку суб'єкта. Чим мен­шою є ця сума відносно загального бюджету, тим імовірні­ше, що суб'єкт проявить схильність до ризику.

Побудова функції корисності для будь-якого економіч­ного показника здійснюється у такі етапи:

1) виявлення найкращих та найгірших з можливих допустимих показників і присвоєння їм значення корисності відповідно 100 і 0 (якщо корисність вимірюється за 100-бальною шкалою);

2) оцінювання кількома експертами (групою) корис­ності проміжних значень показників;

3) розрахунок середніх оцінок корисності проміжних значень, вказаних експертами;

4) при значному розсіюванні значень певного показни­ка необхідно повернутися до кроку 2 для узгодження дум­ки експертів (кроки 2—4 можуть повторюватись багаторазово, доки не буде досягнутий прийнятний діапазон розсі­ювання значень);

5) побудова функції методом найменших квадратів (рівняння регресії), яка і буде свідчити про ставлення осо­би, що приймає рішення, до ризику.

Приклади різних функцій корисності:

1) U(Х) = а + bХ— зростаюча (при b > 0) або спадаюча (при b<0) функція корисності для суб'єкта, нейтрального до ризику (рис. 3.6);

Рисунок 3.6. - Зростаюча і спадаюча функція корисності для суб'єкта, нейтрального до ризику

2)U(Х) = 1оg_a(Х+b)— функція корисності для су­б'єкта, несхильного до ризику, із зменшуваною корисніс­тю (X > - b) (рис. 3.7);

Рисунок 3.7. - Функція корисності для суб'єкта, несхильного до ризику із зменшуваною корисністю

3) U(X) = e^cX — функція корисності для суб'єкта, по­стійно несхильного (при с>0) чи схильного (при с<0) до ри­зику (рис. 3.8);

Рисунок 3.8. - Функція корисності для суб'єкта, постійно несхильного чи схильного до ризику

4) U(Х) = сХ²— зростаюча функція корисності для суб'єк­та, схильного (при c< 0) чи несхильного (при с < 0) до ризику (рис. 3.9);

Рисунок 3.9. - Функція корисності для суб'єкта із зростаючою схильністю чи несхильністю до ризику

5) U(Х) = а + bХ + СХ² (Х<b/с) — функція корисності для суб'єкта із зростаючою (при с < 0) або зменшуваною (при с>0) схильністю до ризику (рис. 3.10);

Рисунок 3.10 - Функція корисності для суб'єкта із зростаючою або зменшуваною схильністю до ризику

6) U(X)= – функція з інтервальною нейтральністю (схильністю — несхильністю) до ризику (рис. 3.11).

Рисунок 3.11.- Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику

На рис. 3.11 можна виокремити кілька зон схильності особи до ризику: (0;20) — нейтральність; (20;40) — не­схильність; (40;60) — схильність; (60;80) — нейтраль­ність; (80; 100) — несхильність; (0;50) — глобальна не­схильність.

Приклад

Два підприємства мають тимчасово вільні кошти відпо­відно 50 і 100 тис. грн., для яких розглядають дві альтер­нативи використання:

1)придбання безризикових державних облігацій під 7% річних;

2) фінансування інвестиційного проекту. При цьому за невдачі (імовірність 0,4) підприємство втрачає усі свої кошти, а у разі успіху — дохід подвоюється.

За оцінками експертів визначено корисність різних сум доходів (табл. 3.2).

Таблиця 3.2

Корисність різних сум доходів підприємств

Корисність	Дохід, тис. грн.
	0	20	40	60	100
Підприємство 1	0	20	30	70	100
Підприємство 2	0	40	80	90	100

Визначити варіант вкладання грошей з критерієм найімовірнішого доходу, корисність доходів для двох підприємств та можливу поведінку їх менеджерів.

Розв'язування:

Спочатку визначають найімовірніші доходи для обох варіантів вкладень:

• підприємство 1: придбання облігацій 50 • 1,07 • 1 = 53,5 тис. грн.; інвестування 100 • 0,6 + 0 • 0,4 = 60 тис. грн.;

— підприємство 2 : придбання облігацій 100 • 1,07 • 1 = 107 тис. грн.; інвестування 200 • 0,6 + 0 • 0,4 = 120 тис. грн.

Підприємствам вигідніше інвестувати кошти на основі «середнього (найімовірнішого) доходу. Але з огляду на те, що облігації є безризиковим вкладенням капіталу, менш ризикованим є придбання облігацій (коефіцієнт варіації: при інвестуванні становить 0,816 проти 0 для безризикових вкладень).

Для побудови функції корисності доходу підприємств обрано найпростіший тип (вихідна гіпотеза — суб'єкт несхильний до ризику). Використавши метод найменших квадратів, можна одержати відповідні рівняння:

— підприємство 1: U = -1,486 + 1,034Х, (де X — дохід);

— підприємство 2: U = 19,189 + 0,973Х.

Графіки корисності доходів для менеджерів підприємств наведено на рис. 3.12. Вони свідчать, що менеджери першого підприємства несхильні до ризику, а менеджери другого — схильні.

Рисунок 3.12. - Графік корисності доходів для менеджерів підприємств

Імовірно, що менеджери першого підприємства спря­мують кошти у державні облігації з гарантованим вигра­шем 53,5 тис. грн., а другого — на інвестування:

= (0 + 20 + 40 + 60 + 100) / 5 = 44 тис. грн.;

U1( )= (-1,486 + 1,034 • 44) = 44 тис. грн.;

U2( )= 19,189 + 0,973 • 44) = 62 тис. грн.;

(Х) =100 • 0,6 + 0 • 0,4=60 тис. грн.

Звідси 44 < 60 (виконується умова несхильності суб'єк­та до ризику), 62 > 60 (виконується умова схильності суб'єкта до ризику).

Використання теорії корисності при прийнятті рішень дає змогу пояснити і спрогнозувати поведінку окремих еко­номічних суб'єктів на основі їх ставлення до ризику. Обме­жене застосування розглянутих процедур пояснюється від­сутністю і суб'єктивністю інформації про рівень корисності окремих подій, їх мінливість і залежність не лише від суб'єкта ризику, а й від факторів зовнішнього середовища.