4. Тиск рідини на циліндричні стінки трубопроводів.

Тонкостінні циліндричні посудини, які заповнені рідиною під тиском, широко поширені в техніці. До них відносяться труби, котли, корпуси апаратів. Основним завданням їх розрахунку є визначення товщини стінки, при якій забезпечується міцність посудини, під дією заданого тиску без урахування ρgh.

Розглянемо дію сил тиску на внутрішню поверхню циліндра. На рис. 11 наведена половина циліндра, внутрішній діаметр якого позначимо через D, довжину циліндра через L, і товщину стінки через δ.

Виділимо на внутрішній поверхні циліндра елементарну площадку abсd з площею dF. Нехай нормаль nn до цієї площадки, яка проходить через її середину (через її центр тяжіння), складає кут α з площиною y0z системи координат xyz.

По нормалі nn на елементарну площадку dF діє елементарна сила тиску рідини dP_n, причому:

dP_n = p ∙ dF.

Спроектуємо силу dP_n на вертикальну площину y0z і позначимо її проекцію dP_z:

dP_z = dP_n ∙ cos α = p dF cos α.

Рис. 11 Тиск рідини на стінки труби.

Визначимо P_z як суму проекцій всіх елементарних сил тиску на площину y0z, нехтуючи нерівномірністю розподілу тиску по поверхні циліндра (по висоті z):

.

Зауважимо, що ∫dF∙cos α, який дорівнює площадці a'b'c'd', є проекція елементарної площадки abсd на горизонтальну площину х0у. Тому є проекцією всій бічній поверхні напівциліндра на ту ж площину х0у. Площа цієї проекції дорівнює D∙L і:

P_z = р D∙L.

Зауважимо, що сумарна сила P_z прагне розірвати циліндр по діаметральному перетину, який лежить в площині y0z, або, що те ж саме, відірвати верхній напівциліндр від нижнього (на рис. 11 нижній напівциліндр не показаний). Такий розрив може статися з двох площадок діаметрального перерізу циліндра. Площа кожної з цих площадок буде дорівнювати добутку товщини стінки δ на довжину утворюючої циліндра L.

Напруження розтягання на цих площадках складуть:

. (11)

За умов міцності напруги розтягнення не повинні перевищувати допустимих напружень [_σ]_р або:

. (12)

За цією формулою можна визначати фактичні напруги розтягування в стінці судини і, порівнюючи їх з напругами, які допускаються, перевіряти міцність стінок циліндричних судин, труб тощо.

5. Основи теорії плавання тіл. Закон Архімеда.

На занурене в рідину тіло, що знаходиться в рівновазі, діє сила тяжіння цього тіла і поверхневі сили тиску (рис. 12).

Очевидно, горизонтальні складові сили тиску рідини взаємно врівноважуються.

Розбивши тіло на дві частини: верхню з поверхнею ABC та нижню з поверхнею ADC, визначимо вертикальну складову як алгебраїчну суму сил, які діють на кожну з частин. Величина вертикальної складової сили тиску на криволінійну поверхню дорівнює вазі рідини в об'ємі тіла тиску.

Рис. 12 Сили, які діють на тіло, занурене в рідину.

На частину тіла ABC діє вертикально вниз сила, яка дорівнює вазі рідини в об'ємі AEFCB:

P_z1 = ρ g V₁ ,

на частину тіла ADC вертикально вгору діє сила, яка дорівнює вазі рідини в об'ємі AEFCD:

P_z2 = ρ g V₂ .

Рівнодіюча цих сил спрямована в бік дії більшої сили - вертикально вгору - і дорівнює вазі рідини в об'ємі ABCD:

P_z = P_z2 - P_z1 = ρ g V₂ - ρ g V₁ = ρ g V.

Отже, тіло, яке занурене (повністю або частково) в рідину, відчуває з боку рідини сумарний тиск, спрямований знизу вгору і який дорівнює вазі рідини в об'ємі зануреної частини тіла V_зан. Цей тиск називається силою витиснення або підйомною силою: (13)

P = ρ g V_зан

Лінія дії сили проходить через центр ваги зануреного об’єму.

Так формулюється закон Архімеда. Силу Р називають архімедовою силою.

Плавучістю тіла називається здатність його плавати при навантаженні. Якщо вага тіла G більше архімедової сили Р (рис. 13, а), то тіло тоне. Якщо G = P (рис. 13, б), то тіло плаває в зануреному стані. Якщо G <P (рис. 13, в), то тіло спливає до тих пір, поки при зменшенні об’єму, який занурений, архімедова сила Р не зменшиться до величини G (рис. 13).

Рис. 13 Типи плавання тіл.

Отже, основна умова плавання тіл виражається так:

G = P = ρ g V (14)

причому під вагою тіла G мається на увазі власна вага плаваючого тіла (корабля, баржі, плота) і вага додаткового навантаження.

Плавання називається підводним при повному зануренні тіла в рідину або надводним при частковому зануренні.

Якщо плаваюче тіло однорідне по всьому об'єму V_т, то його вага дорівнює:

G = ρ_т gV_т

де ρ_т g - питома вага тіла, Н/м³.

Тоді з умови (14) випливає, що:

,

або при g = const:

, (15)

тобто відношення питомої ваги плаваючого тіла і рідини зворотно пропорційно відношенню об’єму тіла до об'єму витісненої ним рідини.

При підводному плаванні ці об’єми дорівнюють (V_т = V), отже, умова підводного плавання однорідного тіла виражається рівнянням:

ρ_т ∙ g = ρ ∙ g (16)

Нехай симетричне тіло перебуває в умовах надводного плавання (рис. 14). Площина, яка перетинає тіло, вільної поверхні рідини називається площиною плавання. Лінія перетину поверхні тіла з площиною плавання називається ватерлінією, а обмежена нею площина - площиною ватерлінії.

Глибину занурення найнижчої точки змоченої поверхні тіла у називають осадкою. Найбільша можлива осадка судна в навантаженому стані звичайно відзначається на ньому червоною ватерлінією. Осадка одного і того ж тіла тим більша, чим менша питома вага рідини.

Рис. 14. Надводне плавання симетричного тіла.

Об'єм рідини V, який витіснений тілом, називається об'ємною водотоннажністю, а її вага ρ∙g∙V - водотоннажністю. Водотоннажність судна при повному навантаженні є основною його характеристикою.

Центр ваги об'ємної водотоннажності D, через який проходить лінія дії архімедової сили, називається центром водотоннажності.

Під віссю плавання розуміється лінія, яка проходить через центр водотоннажності D та центр тяжіння С тіла при його рівновазі. Зазначимо, що для збереження рівноваги ось плавання повинна бути вертикальною, інакше сили Р та G складуть пару сил, яка обертатиме тіло.

Остійністю називається здатність плаваючого тіла, яке виведене з рівноваги, повертатися у вихідне положення після припинення дії сил, що викликали крен (нахил).

Розглянемо статичну остійність твердих симетричних тіл, які плавають в спокійній воді, при малих кутах крену (α <15 °).

Тіло може повернутися в нормальне вертикальне положення, якщо пара сил G та Р створює обертаючий момент в бік зменшення крену. В іншому випадку тіло не остійне.

Об'ємна водотоннажність і положення центру тяжіння С для розглянутих тіл не залежить від нахилу осі плавання.

При підводному плаванні (рис. 15) положення центру водотоннажності D не змінюється при крені. Тому можливі два випадки:

1. Центр ваги тіла С знаходиться нижче центру водотоннажності D. Пара сил G та Р прагне знищити крен. Положення тіла остійне.

2. Центр ваги тіла С знаходиться вище центру водотоннажності D. Пара сил прагне збільшити крен. Положення тіла не остійне. Якщо центри С та D співпадають, то при крені тіло перебуває в рівновазі - не повертається в початкове положення, тобто також є не остійним.

При надводному плаванні (рис. 16) при крені центр водотоннажності D переміщується. Остійність тіла також безумовно забезпечується, якщо центр ваги С лежить нижче центру водотоннажності D (рис. 16, а). Якщо ж С лежить вище D, то плавання може бути остійним (рис. 16, б) або не остійним (рис. 16, в).

Рис. 15 Підводне плавання тіла.

Положення центру водотоннажності при надводному плаванні залежить від кута крену, тому що об’єм зануреної частини V, залишаючись постійним за величиною, змінює свою форму. Архімедова сила в новому положенні проходить через центр водотоннажності, який перемістився з нормальної осі плавання в точку D'.

Рис. 16 Надводне плавання тіла при крені.

Положення точки перетину архімедової сили з віссю плавання М також залежить від кута крену. Але при малих кутах (α < 15°) можна вважати положення цієї точки практично постійним. Точка М називається метацентром, а відстань від метацентра М до центру водотоннажності D - метацентричним радіусом r. При невеликому крені центр водотоннажності переміщується по дузі з радіусом кривизни r.

З рис. 16 видно, що якщо метацентр лежить вище центру ваги, пара сил G та Р прагне зменшити крен; якщо метацентр лежить між точками D та С, то пара сил збільшує крен.

Отже, положення тіла є остійним, якщо метацентричний радіус r перевищує відстань між центром ваги і центром водотоннажності (ексцентриситет) δ. І, навпаки, якщо r < δ, то положення тіла не остійне.

Величина метацентричного радіуса при малих кутах крену визначається залежністю:

, (17)

де V- об’єм зануреної частини;

J₀ - центральний момент інерції площі ватерлінії відносно осі, біля якої відбувається поворот.

При кренах навколо поздовжньої осі площини плавання з'ясовується поперечна остійність тіла, при кренах близько поперечної осі - поздовжня остійність.

Очевидно, що поздовжній метацентричний радіус більше поперечного, так як завжди більший момент інерції буде відносно поперечної осі. Тому перевірці підлягає поперечна остійність тіла, яке плаває.

Отже, умову остійності можна висловити нерівністю:

(18)

або:

. (19)

Чим вище положення метацентра над центром тяжіння, тим більше остійність тіла. Відстань між точками М та С називають метацентричною висотою m. При великому значенні т судно стає хитким. Залежно від призначення судна метацентрична висота приймається в межах m = 0,3...1,2 м.