Лекція № 5 «Основи гідродинамічної подібності. Режими руху рідини»

1. Основи теорії подібності.

2. Основні гідродинамічні подібності.

3. Режими течії рідини.

1. Основи теорії подібності.

Незважаючи на високий рівень розвитку сучасної гідродинамічної теорії, далеко не всі практичні задачі можуть бути вирішені теоретично з достатньою точністю і надійністю.

При створенні сучасних гідравлічних машин та пристроїв, літаючих апаратів, гідрологічних споруджень тощо, гідродинамічний розрахунок є важливим і обов’язковим етапом проектування, але все ж заключна оцінка властивостей і характеристик машин, які проектуються або споруджень проводиться на підставі експериментальних досліджень моделей або натурного об’єкту.

При постановці гідродинамічного експерименту одним із основних питань є питання про те, по яким правилах повинна бути виготовлена модель об’єкту, який підлягає дослідженням, і по яким залежностям необхідно перерахувати дані досліджень, щоб одержати вірогідний опис натурного гідродинамічного явища. На це питання дає відповідь розділ гідромеханіки, який називається теорією подібності. Теорія подібності по суті, є основою теорії експерименту.

У теорії подібності розрізняють геометричну подібність яка є подібністю границь областей течії, кінематичну подібність під якою мають на увазі подібність полів місцевої швидкості і динамічну подібність сил.

Наведемо більш повне визначення цих видів подібностей.

Нехай ми маємо натурний об’єкт – потік рідини (рис. 1(1)), який має бути гідродинамічно дослідженим, та його модель (рис. 1(2).

Рис. 1. Потік рідини, який досліджується (1) та його модель (2)

Всі параметри натурного об’єкту (потоку) визначимо індексом 1, а модельного – індексом 2. Щоб одержати зону течії геометрично подібну натурі, розділимо усі лінійні розміри натури на деяке число m_i, яке будемо називати лінійним масштабом, і одержані результати приймемо за відповідні лінійні розміри моделі. Число m_i обирають із практичних міркувань, які диктуються, наприклад, виробничими можливостями лабораторії.

Таким чином, одержуємо зв’язок між геометричними параметрами l₁ і l₂ об’єктів 1 і 2.

.

Лінійні розміри, пов’язані відношенням , називають відповідними або подібними.

Модель 2, геометричні параметри якої задовольняють записаній умові, назвемо геометричною подібністю об’єкту 1.

Інакше можна сказати, що два гідродинамічних об’єкта будуть геометрично подібними, якщо будь-який лінійний розмір одного може бути одержаний із лінійного розміру другого шляхом множення на постійний множник.

Припустимо тепер, що об’єкти 1 і 2 геометрично подібні. Визначимо через U₁ і U₂ швидкості у схожих точках цих потоків, а через Uі₁ і Uі₂ їх однойменні проекції на деяку вісь координат. Якщо відношення:

однаково для будь-якої пари подібних точок, то потоки 1 і 2 будуть кінематично подібними.

Кінематичну подібність можна визначити інакше.

Якщо і - малі інтервали часу, за які рідкі частини проходять подібні відрізки шляху, то

і

Звідси масштаб часу .

Кінематично подібними називають потоки, в яких відрізки часу, які витрачаються рідкими частинами для проходження подібних відрізків шляху, знаходиться в постійному відношенні.

Розглянемо далі будь-яку пару подібних точок і визначимо величини проекцій на координатні вісі рівнодіючих сил через Fi₁ і Fi₂. Якщо Fi₁/Fi₂=m_F (i=x, y, z) є величина постійна для будь-якої пари подібних точок, то потоки 1 і 2 називають динамічно подібними.

З приведених визначень ясно, що кінематична і динамічна подібність може існувати тільки при наявності геометричної подібності.

Якщо для будь-якої групи гідродинамічних явищ має місто кінематична і динамічна подібність, то її називають групою механічно подібних явищ або групою повної гідродинамічної подібності. Існування на практиці повної гідродинамічної подібності майже неможливо, тому мають справу з частковою подібністю (неповною), при якій виконується пропорційність лише основних (головних) сил.

Для напірних течій у закритих руслах, тобто для потоків у трубах, у гідромашинах тощо, такими силами, як показує аналіз, є сили тиску, в’язкості і сили інерції. На рідину діє також сила тяжіння, але в напірних потоках її дія проявляється через тиск. І. Ньютон запропонував розглядати динамічну подібність, виходячи із умов, що сили, які діють у подібних точках динамічно подібних систем (потоків), у подібні моменти часу мають однакове відношення.

Сили інерції визначаються добутком маси на прискорення, тобто Р=m^.a.

Масу можна виразити як:

m=V=L³,

де V – об’єм рідини, м³,

L – лінійний розмір потоку, м.

Прискорення є:

а=L/t²

де t – відрізок часу, с.

Тоді сила інерції:

.

Таким чином, сила інерції пропорційна густині рідини, швидкості у другій степені і площі:

Для потоків, які гідродинамічно подібні 1 і 2, маємо:

Записані умови – це математичний вираз загального закону динамічної подібності, сформульований І. Ньютоном у 1686р.

Приймемо сили інерції за основу і будемо інші сили, які діють на рідину, порівнювати з інерційними. Тоді можемо записати:

(1)

Це відношення, яке є однаковим для подібних потоків, називають числом Ньютона і позначають Ne. Тут під Р мають на увазі основні сили: силу тиску, в’язкості, тяжіння тощо.

Отже, останнє співвідношення (1) являє собою загальний вид закону гідродинамічної подібності.