Лекція № 7 «Турбулентний режим руху рідини у трубах»

1. Структура потоку і пульсації швидкостей при турбулентному

режимі.

2. Втрати напору у трубах при турбулентному режимі руху рідини.

1. Структура потоку і пульсації швидкостей при турбулентному режимі.

Якщо рідина рухається вздовж потоку в умовах внутрішньої невпорядкованості, хаотично, то такий рух називається турбулентним. Турбулентний рух рідини є найбільш розповсюдженим у природі і техніці. В той же час до цього ще не створено достатньо задовільної теорії турбулентного руху, яка б безпосередньо витікала з основних рівнянь гідродинаміки і повністю підтверджувалася практикою (як це має місце при ламінарному русі). Це пояснюється складністю структури турбулентного потоку, внутрішній механізм якого до цього часу ще не розгаданий повністю.

Нагадаємо, що рух рідини стає турбулентним, коли число Рейнольдса досягає критичного значення. Тоді від стінок труби відриваються окремі рідкі маси, які попадають до нутра потоку і тим самим порушують до того існуючий упорядкований рух, характерний для ламінарного руху.

На підставі результатів експеріментальних досліджень низки вчених (Л. Прандтль, І. Нікурадзе, Г. Гуржиєнко тощо) було встановлено (рис. 1), що при турбулентному режимі руху основну частину потоку займає його ядро, в якому має місце розвинений турбулентний рух, а біля стінок труби існує пограничний шар, який у свою чергу може бути підрозділений на тонкий ламінарний підшарок, який розташований безпосередньо біля стінки, а також тонкий перехідний шар, який являється переходною зоною від ламінарного руху до турбулентного.

Ламінарний підшарок у турбулентному потоці має малу велечину (звичайно частка міліметра), але грає велику роль. Його товщина при збільшенні швидкості зменшується.

Турбулентний режим характеризується невпорядкованим, хаотичним рухом частин рідини. Хаотичність руху з кінематичної точки зору означає, що швидкості рідини в окремих точках простору, через який вона протікає, постійно змінюються як по величині, так і по напрямку.

Ш видкість у даній точці турбулентного потоку, яка виміряна у даний момент часу, називають миттєвою швидкістю U. Миттєва швидкість може бути розкладена на три взаємно перпендикулярні напрями.

Рис.1 Структура потоку (а) та розподіл швидкостей по перерізу круглої труби (б) при турбулентному режимі руху рідини:

І – ламінарний підшарок; ІІ – перехідна зона; ІІІ – турбулентне ядро.

Як поздовжня, так і поперечна складові миттєвої швидкості весь час змінюються. Зміна у часі проекції миттєвої місцевої швидкості на будь-який напрямок, називається пульсацією швидкості.

Рис.2 Пульсація швидкостей турбулентного потоку

На рис.2 надана крива зміни у часі поздовжньої складової швидкості U_x. Зміна швидкості уявляється безладною, має випадковий характер, однак можна відмітити, що середнє за достатньо великий проміжок часу Т значення швидкості зберігається все ж постійним. Це означає, що швидкість безперервно пульсує навколо середнього значення U_x. Графічно середня у часі швидкість виражається висотою прямокутника рівновеликої площі, яка міститься між пульсаційною кривою, віссю абсцис та двома ординатами, які відповідають початковому і кінцевому моменту спостереження.

Різниця між дійсним і середнім у часі значенням місцевої швидкості називається пульсаційною складовою швидкості (або пульсаційним додатком).

Поняття про середню у часі швидкість вперше було запропоновано Л. Буссінеском (1867 р.) і розвинуто О. Рейнольдсом.

Заміна поля миттєвих швидкостей на поле середніх у часі швидкостей дає можливість пристосувати до турбулентного потоку поняття елементарного струмка і розподіл на сталий і несталий рух.

Ці особливості турбулентного режиму руху дали можливість припустити теорію втрат енергії, яка заснована на використанні поняття про дотичне напруження.

2. Природа дотичних напружень, які виникають у турбулентному потоці, більш складна, ніж у ламінарному. У процесі турбулентного перемішування маси рідини із центральної частини труби попадають в область потоку біля стінок, і навпаки, частинки, які рухаються біля стінок, - до центральної частини.

Маси, які переміщуються із центральної частини потоку до перефірії, володіють більшими поздовжними швидкостями, ніж ті, які переміщуються у протележному напрямі, так як середня у часі місцева швидкість більша у центральній частині потоку. Маси, які рухаються з меншими швидкостями, попадаючи у область більших середніх у часі швидкостей, гальмують рух рідини у цій області.

Рис.3 Зародження дотичних напружень в турбулентному потоці

Причина зародження дотичних сил, які діють у турбулентному потоці, міститься у безперервному обміні частками між сусідніми шарами, у обміні мас рідини, який супроводжується відповідним збільшенням або зменшенням їх імпульсу руху. Розглянемо фізичну суть цього явлення. Для цього уявимо собі частку рідини у потоці, яка знаходиться у дану мить в точці А із координатами X, Y, Z. Частка А знаходиться у турбулентному потоці і переміщується разом із ним вздовж вісі О_х.

Миттєва швидкість U у розглядаємий момент може бути зображена як геометрична сума її проекції U_x, U_y, U_z на осі координат.

У свою чергу кожну з цих проекцій можна представити сумою середньої у часі і пульсаційних швидкостей:

; ; .

Розглянемо турбулентний рух рідини. Нехай рідина рухається зліва направо вздовж вісі ОХ між площинами І і ІІ, паралельними площині XОY і відстаючими одна від одної по вертикалі на відстані l. Площі розглядаємих площин І і ІІ позначимо через F.

Середня у часі швидкість у І площині вздовж потоку дорівнює . Отже, у ІІ площині вздовж потоку швидкість може бути прийнята , де - градієнт швидкості вздовж вісі OZ. Очевидно, що повна зміна швидкості між І і ІІ площинами, які відстають одна від іншої на величину l вздовж вісі OZ , складе:

.

Величина l між площинами взята такою, що кожна частка рідини, яка переходить із одної площини до іншої цілком набуває швидкості часток, що відповідають своєму новому положенню. Величину l прийнято називати глибиною (довжиною) перемішування.

У турбулентному потоці внаслідок хаотичного руху деякі з часток у результаті поперечних переміщень із швидкістю пульсацій будуть попадати із площини І до площини ІІ, і навпаки. Тому між шарами рідини, у загальному випадку, буде проходити деякий обмін імпульсом руху (кількістю руху).

Приймемо, що в одиницю часу із площини І до площини ІІ переходить кількість рідини, маса якої виражається величиною . Враховуючи, що прирощування імпульсу руху частки (кількісті руху) дорівнює імпульсу дотичної сили Т у одиницю часу, можна написати:

,

звідси:

Отже, напруження дотичних сил, які обумовлені турбулентним обміном мас може бути виражено залежністю:

.

Як було вже показано, повна зміна швидкості між шарами І і ІІ визначається величиною . Якщо прийняти, що повна зміна швидкості між суміжними шарами часток з незмінною масою при турбулентному обміні являє собою не що інше як швидкість пульсації , то:

і виходить:

Таким чином, напруження у розвинутому турбулентному потоці пропорційне квадрату градієнту швидкості. Це погоджується з даними інженерної практики.

Використовуючи аналогію із напруженням в’язкого тертя у ламінарному потоці, останнє рівняння можна подати у вигляді:

,

де - коефіцієнт турбулентної (або віртуальної) в’язкості. Середній потік повинен одночасно володіти і молекулярною (в’язке тертя) і турбулентною в’язкістю. Тому повне дотичне напруження записують у вигляді:

При ламінарному русі перемішування не проходить і вираз приводиться до закону І. Ньютона:

Таким чином, цей вираз являє собою узагальнений вираз для дотичного напруження у рухомій рідині.

У центрі труби ядро турбулентного потоку рухається майже з однаковою швидкістю і тому градієнт швидкості , тобто сили в’язкості практично не виявляються. У ядрі турбулентного потоку визначальним є опір, який обумовлений віртуальною в’язкістю, а напруження відповідає величині:

.

Викладена полуемперічна теорія турбулентності, а також експериментальне вивчення дозволили Л. Прандтлю наближено аналітично описати розподіл швидкостей по живому перетину круглої труби. При цьому Л. Прандтль приймав два припущення:

1. дотичне напруження у основній товщі потоку постійне і дорівнює дотичному напруженню на стінці, тобто Це припущення витікає з характеру розподілу швидкостей у турбулентному потоці .

2. шлях перемішування l пропорційний відстані від стінки труби, тобто , де k – коефіцієнт пропорційності.