5. Рівняння д. Бернуллі для потоку реальної (в’язкої) рідини.

У практиці інженерної діяльності доводиться мати діло не з ідеальною рідиною, а з реальною, якій властиві певна в’язкість, стислість і ряд інших властивостей.

В’язкість реальної рідини викликає опір руху, внаслідок чого має місто втрата частини енергії, яка міститься у рухомому елементарному струмку.

Як тільки що було доведено, величина повної енергії для елементарного струмка ідеальної рідини постійна. У в’язкій рідині енергія вздовж струмка зменшується, переходячи внаслідок тертя у теплову енергію.

Нехай в якомусь із перетинів елементарного струмка реальної рідини питома енергія буде дорівнювати , а у перетині, відлеглому на деякій відстані від нього, . Причому, так як має місто втрата енергії, то > , або: .

Втрату питомої енергії по довжині струмка між перетинами позначимо через та її можна визначити як різницю питомих енергій у двох перетинах: .

Звідси .

Це є рівняння Д. Бернуллі для елементарного струмка реальної рідини.

Значення складових ми всі розібрали, за виключенням додаткового члена . Так як розмірність питомої енергії є лінійною величиною, то, очевидно, і різниця їх теж буде лінійною величиною, тобто має розмірність висоти стовпа рідини.

Далі, якщо розглядати струмок в’язкої рідини, то повний напір її буде зменшуватися по довжині, тобто: .

А тому, рівні рідини у трубках Піто будуть знижуватись. Лінія, яка з’єднує рівні рідини у трубках Піто, називається напірною, але вона є похилою, яка спадає.

Цей висновок дозволяє пояснити геометричне значення рівняння Д. Бернуллі для елементарного струмка в’язкої рідини: видаток енергії або втрата напіру являє собою різницю між висотою рівня рідини в трубках Піто у початковому перетині і висотою рівня рідини у трубці Піто перетину відносно площини порівняння.

При виведенні рівняння Д. Бернуллі для потоку в’язкої рідини необхідно пам’ятати, що потік складається із сукупності елементарних струмків, а швидкості по перетину потоку реальної рідини не однакові.

Рис. 9

Розглянемо сталий потік реальної (в’язкої) рідини.

Вилучимо в ньому елементарний струмок і для двох його перетинів напишемо рівняння Д. Бернуллі.

Ваговий елементарний видаток струмку можна виразити gdQ, а тому повна енергія струмків у двох довільно вибраних перетинах може бути визначена наступним виразом:

Перепишемо рівняння у такому вигляді:

Таким чином, рівняння Д. Бернуллі для цілого потоку в’язкої рідини може бути одержане шляхом складання повних енергій усіх елементарних струмків, з яких складається потік, і втрат енергії.

Необхідно обчислити три інтеграли:

1. ; 2. ; 3. .

Так як видаток визначається добутком швидкості на площу живого перетину, то можна перший інтеграл записати як: .

Під знаком інтегралу стоїть значення місцевої швидкості, яка в межах живого перетину потоку являється перемінною.

Із-за нерівномірного розподілення швидкостей доводиться вводити в розглядання середню по перетину швидкість v.

Після заміни під знаком інтегралу перемінної u на постійну v можемо проінтегрувати вираз: .

Одержаний вираз являє собою деяку умовну величину кінетичної енергії потоку. Ця величина відрізняється від “дійсної” величини кінетичної енергії .

В загальному випадку:

Відношення і називається коефіцієнтом нерівномірності розподілення швидкостей по живому перетину потоку. Цей коефіцієнт іноді називають коефіцієнтом Коріоліса.

Коефіцієнт  визначають експериментальним шляхом на підставі спеціальних вимірювань швидкостей у різних точках потоку рідини, яка досліджується.

Розглянемо тепер другий інтеграл .

Для обчислення інтегралу необхідно пригадати умови, для яких одержане рівняння Д. Бернуллі – рух сталий і на струмок діє тільки сила тяжіння.

Для цих випадків тиск по перетину розподіляється по закону гідростатики, тобто .

Тому:

Постійність питомої потенційної енергії справедлива для будь-якої точки живого перетину потоку, який плавно змінюється.

Звернемося тепер до третього інтегралу: .

По аналогії з поняттям про середню швидкість потоку скористаємося поняттям про середню втрату енергії в струмках між двома перетинами.

Позначимо середню втрату енергії через h_W. Тоді:

Тепер рівняння для цілого потоку в’язкої рідини, записане в загальному вигляді можемо переписати:

Віднесемо усі елементи потоку до одиниці ваги рідини, тобто поділимо рівняння на gQ:

Одержане рівняння Д. Бернуллі для цілого потоку в’язкої рідини по своїй будові аналогічно рівнянню для елементарного струмка і записано у формі напорів. Якщо для струмка ідеальної рідини рівняння являє собою закон збереження енергії, то для потоку реальної рідини воно являється рівнянням балансу енергії з урахуванням втрат.

Для більшості практичних розрахунків можна приймати =1.

Помноживши рівняння Д. Бернуллі на g, одержимо форму запису рівняння, у якій кожний член його має розмірність тиску:

.

Величину gz називають гравітаційним тиском; - динамічним тиском.

На практиці для виконання інженерних розрахунків користуються або рівнянням, записаним у формі напорів, або у формі тиску.

Рівняння Д. Бернуллі, являється основним рівнянням гідравліки, за допомогою якого виводяться розрахункові формули для різноманітних випадків руху рідини і вирішуються практичні задачі. При цьому слід мати на увазі, що воно справедливе тільки для сталих потоків або які плавно змінюються з плоскими живими перетинами. Тому використовувати його можна тільки там, де є усі ознаки такого руху.

Звичайно для розв’язання задач на схемі потоку проводять два перетина і горизонтальну площину – площину порівняння. Площину порівняння, щоб було менш невідомих, проводять через центри тяжіння одного або, якщо це можливо, двох перетинів, і тоді z₁ або z₂ або вони обидва будуть дорівнювати нулю. Перетин проводять нормально напряму руху рідини, а місця їх проведення вибирають так, щоб перетини були плоскими, утримували невідомі величини, які підлягають визначенню, і достатнє число відомих величин. Звичайно такими місцями є: вільні поверхні рідини, вхід або вихід із трубопроводу, місця установки вимірювальних пристроїв тощо. Далі, для вибраних перетинів, які нумерують по напрямку руху рідини, записують рівняння Д. Бернуллі, підставляють в нього числові значення відомих величин і розраховують невідомі величини.

При рішенні деяких задач приходиться використовувати рівняння нерозривності і обирати більш двох перетинів; щоб уникнути помилок у розрахунках, тиск в рівняння підставляють абсолютний, а не надмірний (так як в одному із перетинів може бути вакуум).