3. Видаток і середня швидкість ламінарного потоку.

Визначимо тепер видаток рідини, яка проходить по трубі радіусом r. Виділимо у цьому потоці елементарний шар рідини з товщиною перетину dh, розташований на відстані h від вісі труби (рис. 3).

У відповідності із законом нерозривності потоку елементарний видаток рідини через елемент перетину dF визначиться як dQ=UdF.

Рис. 3 Схема для визначення видатку рідини

Площа кільцевого перетину з достатньою точністю може бути визначена добутком dF= 2h dh. Підставимо замість U і dF відповідні їх значення:

Повний видаток визначиться після інтегрування в межах від 0 до r:

Середня швидкість буде:

;

Порівняємо значення середньої та максимальної швидкостей. Як видно, середня швидкість удвічі менше максимальної, тобто:

.

4. Втрати енергії вздовж круглого трубопроводу. Формула Пуазейля і коефіцієнт Дарсі.

Замінимо у виразі для середньої швидкості J і r їх значеннями. Враховуючи, що гідравлічний уклон це втрати енергії, які віднесені до одиниці довжини , , середня швидкість буде:

.

З цього рівняння втрати енергії по довжині потоку:

.

Одержаний вираз відомий як формула Пуазейля-Гагена і являє собою математичний вираз закону гідравлічного опору при ламінарному режимі, встановленого експериментально французьким лікарем Ж. Пуазеллем. З формули виходить, що втрати на тертя при ламінарному режимі пропорційні першій ступені швидкості (що узгоджується з дослідами Рейнольдса). Окрім цього шорсткість стінок не проявляє впливу на втрати напору.

Помножимо формулу Пуазейля на :

Так як , то або

Де є коефіцієнт опору тертя по довжині потоку. Одержаний вираз називається формулою Дарсі-Вейсбаха. Низка дослідників вказують, що для круглих труб рівність не завжди виправдовується. У загальному випадку , де А може мати значення від 64 до 150 в залежності від стану трубопроводу (вм’ятин, напливів тощо), кількості і розташування місцевих опорів тощо.

Вперше емпірична формула була запропонована французьким інженером Анрі Дарсі (1803-1858).

Одержані залежності для h_втр потребують внесення поправок при русі із значним теплообміном, тобто в тих випадках, коли рух рідини супроводжується її нагрівом або охолодженням.

Ці залежності непевні також на початковій ділянці потоку, де опір більше ніж на ділянках сформованої течії.

5. Початкова ділянка ламінарної течії.

Якщо рідина з будь-якого резервуару надходить в пряму трубу постійного діаметру і рухається в ній ламінарним потоком, то розподіл швидкостей по перетину труби поблизу входу виходить практично рівномірним, особливо, якщо вхід виконаний із закругленням (рис. 4). Але потім під дією сил в’язкості проходить перерозподіл швидкостей по перетинам:

Рис. 4 Розподіл швидкостей на початковій ділянці труби

шари рідини, які прикладені до стінки, гальмуються, а центральна частина потоку (ядро), де ще зберігається рівномірний розподіл швидкостей, рухається прискорено, це обумовлюється необхідністю проходу через незмінну площу певного видатку рідини. При цьому товщина загальмованих шарів рідини збільшується і в кінцевому підсумку стає рівною радіусу труби. Після цього встановлюється характерний для ламінарного режиму параболічний профіль швидкостей.

Ділянка від початку труби, на якому формується параболічний профіль швидкостей, називається початковою ділянкою течії l_поч. Для визначення довжини початкової ділянки можна користуватися приблизною формулою Шиллера:

l_поч = 0,029 ∙ Re ∙ d

Опір на початковій ділянці труби виходить більше, ніж на наступних ділянках. Пояснюється це тим, що значення похідної біля стінки труби на початковій ділянці більше, ніж на ділянці стабілізованої течії, а тому більше дотичної напруги, яка визначена законом І. Ньютона. При цьому тим більше, чим ближче розглядаємий перетин до початку труби, тобто чим менше координата х.

Втрати напру на ділянці труби, довжина якої l  l_поч., визначається по формулам:

;

;

Отже, опір усієї початкової ділянки труби на 9% більше, ніж опір такої ж ділянки труби, взятої у області стабілізованої ламінарної течії.

Для коротких труб значення поправочного коефіцієнту k дуже істотно відрізняється від одиниці.

Коли довжина труби більше довжини початкової ділянки l_поч , втрата напору складається із втрат на початковій ділянці і ділянці стабілізованого значення:

.