Задание № 17.

1. Сформулируйте определение устойчивого, неустойчивого и безразличного положения равновесия. Устойчивость положения равновесия по А.М.Ляпунову.

2. Однородный цилиндрический каток радиусом R, м и массой m, кг катится вверх по наклонной плоскости, наклоненной к горизонту под углом , без проскальзывания под действием пары сил с моментом М, нм. Коэффициент трения качения равен . Выбирая в качестве обобщенной координаты линейное перемещение центра масс катка, вычислить обобщенную силу.

3. Тело А массой m₁, кг подвешено на нити, переброшенной через неподвижный блок В, массой m₂. Нить тянут с постоянной силой F. Используя принцип Даламбера, определить величину ускорения тела А.

4. Механизм, изображенный на рисунке, находится в равновесии. Для заданного положения механизма, определить отношение возможных перемещений точек А и В.

5. Механическая система с одной степенью свободы при отсутствии сопротивления входит в резонанс под действием возмущающей силы . Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний данной системы имеет вид: . Определите величину коэффициента жесткости с. Нарисуйте амплитудно-частотную характеристику механической системы с одной степенью свободы.

6. Однородный круглый диск радиуса R, м может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси О₁О₂, лежащей в его плоскости и отстоящей от центра тяжести диска на расстоянии, равном половине радиуса. Ось вращения в точке О₁ закреплена с помощью подпятника, а в точке О₂ – подшипника. Определить положение центра удара диска, если на него действует ударный импульс.

Задание № 18.

1. Сформулируйте теорему Лагранжа-Дирихле. Проиллюстрируйте эту теорему соответствующим примером.

2. Материальная точка закреплена в точке В невесомого стержня АВ, который движется в вертикальной плоскости. В точке А стержень закреплен с помощью неподвижного шарнира. Определите тип связи наложенной на материальную точку и запишите математическое выражение для этой связи.

3. Однородный цилиндрический каток радиусом R, м и массой m, кг катится вверх по наклонной плоскости, наклоненной к горизонту под углом , без проскальзывания под действием пары сил с моментом М, нм. Коэффициент трения качения равен . Выбирая в качестве обобщенной координаты угол поворота катка, вычислить обобщенную силу.

4. Ползун А массой m₁, кг скользит в поле сил тяжести по вертикальной прямолинейной направляющей вниз, ползун В массой m₂, кг скользит по горизонтальной направляющей и имеет в данный момент ускорение а_в = 0,6 мс^-2, направленное вправо. Ползуны А и В связаны посредством цилиндрических шарниров невесомым стержнем. Используя общее уравнение динамики определить ускорение ползуна А, если стержень образует угол  = 60⁰ с вертикальной прямой.

5. Механическая система с одной степенью свободы при отсутствии сопротивления входит в резонанс при частоте возмущающей силы p = 3. Коэффициент инерции данной механической системы равен 5. Определите величину коэффициента жесткости с. Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний данной системы под действием возмущающей силы . Нарисуйте амплитудно-частотную характеристику механической системы с одной степенью свободы.

6. Однородный круглый диск радиуса R, м может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси О₁О₂, лежащей в его плоскости и отстоящей от центра тяжести диска на расстоянии, равном радиусу. Ось вращения в точке О₁ закреплена с помощью подпятника, а в точке О₂ – подшипника. Определить положение центра удара диска, если на него действует ударный импульс