книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

в прямой цепи с передаточной функцией k/s и замкнутой жесткой отрицательной обратной связью.

Весовая функция такой системы имеет вид выражения (1.34). Весовые коэф­ фициенты в данном случае

wm = /ее "'гп.

Весовая функция является исчерпывающей характеристикой од­ номерной линейной системы. Зная весовую функцию линейной си­ стемы, можно определить реакцию ее на произвольное возмущение х (t). Для этого применим линейный оператор А к правой и левой частям выражения (1.27) и, используя линейные сзойства интеграла, получим

со
y{t) = Ax(t)= j х (т) 71,6 (t — т) dx.	(1.36)

— СО

Принимая во внимание обозначение (1.29) для весовой функции, выражение (1.36) для реакции линейной системы на произвольную

функцию запишем в виде
0(0 = соJ g (t,x)x(x)dx.	(1.37)
— СО

Для реальной физически возможной линейной системы, находя­ щейся в покое до момента tQначала приложения возмущения х (/),

подынтегральная функция равна нулю при		т < (0 и т >• t, так
как при т •< t0 функция х (х)	= 0, а при т >> t функция g (t, х) =
= 0. Поэтому для физически	возможной системы выражение (1.37)
принимает форму
t
0(0 = J	g (l,t)x(T)dr.	(1.38)
fo

Для стационарной линейной системы формула (1.38) должна быть
записана в следующем виде:
t
у{1) — ^w(t — х)х(т)dx.		(1.39)
Если считать начальный момент времени t0 = —оо и произвести
замену переменных, положив / — т = £, то вместо	формулы (1.39)
для стационарной системы запишем
СО
0(0 = J w(£)x{t — l)dl.		(1.40)
о
Совокупность весовых функций gkl, (t, т) (/г =	1, . . .,	п, /г =
= 1, . . ., пг), соответствующих всем входам и выходам /г,		является

исчерпывающей характеристикой многомерной линейной системы. Для определения реакции многомерной системы на каждом выходе на возмущение, действующее на каком-либо одном входе, можно

20*

применить формулы (1.37) или (1.38). Суммируя на основании прин­ ципа суперпозиции реакции на каждом выходе по всем входам, полу­ чим следующие формулы для определения выходных переменных фи­ зически возможных линейных нестационарных систем:

тt

Ук( 0 = 2 J gkh (*• т) х>‘(т) dx

/1=1 /„

(/е = 1, . . ., п)

и для стационарных систем

т со

Ук( 0 = 2 1 Ш*А(S) Xh (t — 1) d£.

/1= 1 о
( * =	!.	п )
Заметим, что формулы (1.37),	(1.38) справедливы также для много­

мерной системы, имеющей п выходных и т входных переменных, если у (t) рассматривать как вектор-столбец размерности л, х (I) — как вектор-столбец размерности т, a g (t, т)— как матрицу весовых функций размерности пХт.

Для дискретной нестационарной линейной системы с непрерывным

выходом в моменты времени t =	1гТп + гТп, 0 ^ е ^	1 и непрерыв­
ным входом формула (1.38) с учетом выражения (1.30)		принимает вид
У (h, е) = 2	g{h,e,k)x(k).	(1.41)
/г=—со

Для физически возможной системы, находящейся в момент вре­

мени tQ— 0 в покое, формула	(1.41) имеет вид
У(Л, е) =	А
	£ S (К е. k) х (k) •
к=0

Наконец, реакция стационарной дискретной системы при непре­ рывном входном сигнале выражается формулой

h	w(h — k, е) х (k).
у (/г, е) = £
к——со
Заменяя переменную /г — k	= I, получим
У (М ) = Е	w (/, е) x{h — l).
i= о

Аналогично можно преобразовать формулы для дискретной много­ мерной системы.

В приложении приведены весовые функции типовых элементарных систем (звеньев). Заметим, что по весовой функции можно построить соответствующее дифференциальное уравнение системы [13].

21

1.5. Передаточные функции линейных систем

Для стационарных линейных непрерывных систем полными их характеристиками (наряду с уравнениями) являются передаточная и частотная функции. Передаточная функция представляет собой характеристику реакции системы на показательное возмущение esi. Эта функция определяется как отношение установившейся реакции системы на показательное возмущение Atesi к этому возмущению est. Передаточная функция определяется свойствами системы и зависит только от параметра s:

Ф(«) = е 1 •

(1-42)

Для доказательства вычислим реакцию непрерывной стационарной системы на возмущение eST, пользуясь формулой (1.39). Положим в этой формуле х (т) = est и будем считать t0 = —оо, тогда

	i
y4^es( =	J	w (t—•x)eSTdT.	(1-43)
Разделим выражение (1.43)		на esi:
t			(1.44)
j	w(l — x) e_s <,_T>dx.

Произведем в правой части выражения (1.44) замену переменных g = t — т, получим

- 4 £ - =

(1.45)

ео

Последнее выражение представляет собой преобразование Лапласа весовой функции стационарной непрерывной системы.

Если стационарная система описывается дифференциальными уравнениями, то передаточная функция может быть вычислена на основании сформулированного выше определения как отношение реакции системы на показательное возмущение к этому возмущению. Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид

F(p)y = H (р) х, где F (р) =		п	т
		£ akp'1; Н (р) = £ Ь,р1.
		Л = 0	1 = 0
При этом ak,	bt — постоянные	коэффициенты,	р —	-----опе­
ратор дифференцирования.		в дифференциальное		уравнение
Примем х (/) =	est и подставим
системы. Учитывая, что

= skest, получим F (р)у = Н (р) е5<.

22

Но, как известно из теории дифференциальных уравнений, если пра­ вая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой показательную функцию, ум­ ноженную на постоянную величину, то частный интеграл уравнения имеет вид произведения той же показательной функции е5' на неко­ торую постоянную величину, если s не является корнем уравнения

F (s) = 0.

Полагая у — Фе5/, где Ф = const, и учитывая, что dk est = skest,

получим

F (s) Фе51' = Н (s) es(.

Сокращая это уравнение на est и разрешая относительно Ф, по­ лучим передаточную функцию одномерной системы в виде дробнорациональной функции параметра s [58, 66]:

Ф & = ! $ - ■

0-46)

Таким образом, передаточная функция стационарной линейной системы, описываемой обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, формально получается путем замены в уравнении системы р на s. При этом входное возму­ щение принимают равным единице, а выходную функцию заменяют функцией Ф (s). Зная передаточную функцию стационарной непре­ рывной линейной системы, можно определить ее установившуюся реакцию на показательное возмущение esl:

У it) = Ф(я) esC

Если входное возмущение представляет собой гармоническое ко­ лебание е‘шг, то передаточная функция превращается в частотную функцию или в частотную характеристику линейной системы

a,	(1.47).
ф (»о) = ^ ^ .

Частотная характеристика линейной системы в общем случае является комплексной функцией и может быть представлена в виде

	Ф (гео) = | Ф (гео) | е1' аге ф	(1.48)
где	|Ф (too) | — амплитудная характеристика;	arg Ф (гео) — фазо­
вая	характеристика системы.

Заметим, что если система описывается дифференциальным урав­ нением, то частотная характеристика физически существует только для устойчивой системы.

Частотная характеристика связана простым соотношением с ве­ совой функцией стационарной линейной непрерывной системы. Эта связь может быть получена, если в формуле (1.45) положить s = гсо:

Существует и обратное преобразование вида

со

(1.50)

— со

Зная частотную характеристику линейной непрерывной системы, можно также определить реакцию системы на произвольное возмуще­ ние. Так, если возмущение х (t) абсолютно интегрируемо, то его можно представить рядом или интегралом Фурье

СО

(1.51)

— со

где

СО

(1.52)

— СО

Реакция линейной системы на возмущение х (() на основании принципа суперпозиции имеет вид

со

(1.53)

— со

но, согласно сказанному выше,

Ateia/ = Ф (ко) еш .

(1.54)

Подставляя выражение (1.54) в формулу (1.53), получим

СО

(1.55)

— СО

Изложенные определения и формулы справедливы также для мно­ гомерных систем для каждого входа и выхода. Используя принцип суперпозиции, можно найти реакцию многомерной системы на каж­ дом k-том выходе при одновременном действии возмущений на всех входах по формуле

со

(1.56)

(k — 1, . .., т)

■Передаточную функцию стационарной дискретной физически возможной линейной системы формально можно получить на основании формул (1.34) и (1.45). В общем случае для систем с непрерывным вы­ ходом передаточная функция имеет вид

СО	(1.57)
ф (s, е) = XI w im>е) e"smTn.

24

При е = 0 получаем передаточную функцию дискретной линейной системы с дискретным выходом. Полагая в выражении (1.57) s = ш,

определяем частотную характеристику стационарной дискретной линейной системы.

СО	(1.58)
Ф (ко,е) = ^ w (т, е) е -iamTn .
т=О

Из формулы (1.57) следует, что передаточная функция стационар­

ных дискретных систем является функцией величины es7n. Обо­ значим эту величину через 2, т. е.

z — е5Гп.

Тогда передаточная функция стационарной физически возможной дискретной системы, рассматриваемая как функция 2, имеет вид

	СО	(1.59)
¥ (2, е) =	w (т, е) z~m.
	т=0
При этом имеют место тождества
Ф (s, е) = ¥ (е*гп, е);
¥(2,е) =	Ф (^ ~ In2, 8^ .	(1.60)

Функция ¥ (г, 8) называется 2-преобразованием последователь­ ности весозых коэффициентов w (т, е) стационарной дискретной си­ стемы. Для определения передаточных функций ¥ (г) по их весовым коэффициентам можно воспользоваться 2-преобразованием последо­ вательности весовых коэффициентов, которые зависят от вида непре­ рывной части и типа импульсного элемента. Если известны вид пере­ даточной функции непрерывной части и тип импульсного элемента, то для определения ¥ (z) можно воспользоваться таблицами 2-преоб­ разования [44, 73].

Стационарная дискретная система может быть также описана разностным уравнением и-го порядка. Разностное уравнение может содержать или значения неизвестной функции и ее разностей различ­ ных порядков при одном и том же значении аргумента tk = kTn, или значения неизвестной функции при различных равноотстоящих значениях аргумента. Разностное уравнение дискретной стационар­ ной системы всегда может быть приведено к виду

апУ Ф “г 1г) + ап-гУ (k ~г п — 1) + • • ■+	ауу Ф + 1) -|- а0у ф) =
— bnx ф -f- т) -j- Ьт_гх (& -|- т — 1 )-|-..	bxx ф -f- 1) + b0x (k),
	(1.61)

где ak,	bt — постоянные коэффициенты.
Разностное уравнение (1.61) может быть записано в операторной
форме,	если ввести оператор сдвига V, определяющий сдвиг функции
на период повторения Тп: Vy(t) =		у (t + Тп). Тогда уравнение (1.61)
можно записать в форме
	Р (V) у (/е)	= Q (V) х ф),	(1.62)

25

где

	п			т
	р (v) = S апv";		Q (v) =	2) ьпу"■
	Л=0			/1=0
На основании уравнения (1.62) можно определить передаточную
функцию	(г) стационарной дискретной			линейной	системы. Для
этого положим
	А-* =	es*r n;	yk = 4-resftrn
и подставим в уравнение		(1.61)
	YP (у) е5,;Гп =		Q (у) es*7’n,		(1.63)
но по определению
	y heskTn — eskTn+l,sTn = zheskTn,
где z = esrn.
Тогда уравнение (1.62) приобретает вид
	WP (г) eskrn = Q(z) eskTu.
Сокращая в этом уравнении множитель esft7"n и разрешая его
относительно Ч/, получим
		Щг) =	Щ -).		(1.64)

Пример 1.4. Определить передаточную функцию н частотную характеристику непрерывной системы, описываемой уравнением первого порядка

Ту + ку = кх.

На основании формулы (1.46) передаточная функция в данном случае имеет вид

Ф (S) =		Ts +	1 •
Частотная характеристика получается заменой s = /со, и ее можно преобразо­
вать к форме
ф (£со) = -	k	-	е~‘ arc|S г“ .

JA7’2co2 + 1

Пример 1.5. Определить передаточную функцию дискретной замкнутой следя­ щей системы с б-импульсным элементом и интегратором в прямой цепи с передаточ­ ной функцией k/s.

Для определения передаточной функции замкнутой системы сначала вычислим

передаточную функцию разомкнутой цепи	Чгр = (г) по таблице z-преобразования
при передаточной функции непрерывной части k/s:
Передаточную функцию замкнутой дискретной системы определим по формуле
Yp (г)	кг
Т (2) = 1 + Т р (г )	~ ( 1 + * ) г - Г

26

Используя формулу (1.60), запишем передаточную функцию как функцию ар­ гумента s;

	lie7”
	Ф (s) =
	(1 + k) г 7" — 1
Полагая s = to),	получаем частотную характеристику дискретной системы.
В приложении 1	приведены передаточные и частотные функции основных эле­
ментарных стационарных непрерывных и дискретных систем (звеньев).
1.6.	Характеристики нелинейностей

Реальные элементы автоматических систем в большинстве слу­ чаев нелинейны и лишь в известных пределах их можно считать линейными. Однако в состав автоматических систем входят также существенно нелинейные элементы. Среди нелинейных элементов автоматических систем особую роль играют так называемые безынер­ ционные элементы, которые не имеют запаздывания. Для безынер­ ционного нелинейного элемента выходная переменная в данный мо­ мент времени зависит только от значения входной переменной в тот. же момент и не зависит от того, как изменялась входная переменная до данного момента. Оператором безынерционного элемента является обычная функциональная зависимость между входной и выходной переменными. Эта функциональная зависимость называется харак­ теристикой нелинейного элемента, или нелинейностью.

Нелинейности автоматических систем можно разделить на слабые и существенные. К слабым нелинейностям относят такие, которые при малом диапазоне изменения входного сигнала или при малом его отклонении от изменяющегося среднего значения могут быть заме­ нены линейными. При больших уровнях входного сигнала возникают отклонения от линейной зависимости между входным и выходным сигналами из-за ограничения мощности источников энергии. На рис. 1.5 изображена типовая характеристика нелинейности. Системы с такими нелинейностями при малых уровнях сигнала ведут себя как линейные, и только при больших уровнях сигнала они ведут себя как нелинейные.

Другой тип нелинейностей характеризуется кусочно-линейными или разрывными функциями. Преобразование входного сигнала лю-

У

-й

Рнс. 1.5. Нелинейная характери­	Рис. 1.6. Характеристика ку­
стика	сочно-линейного типа

27

бого уровня такими нелинейными элементами всегда нелинейное. Пример типовой нелинейной характеристики подобного типа приве­ ден на рис. 1.6.

Элементарными безынерционными нелинейностями являются, на­ пример, элементы мультипликативного типа, характеризующие со­ бой зависимости множительных блоков, модуляторов и других уст­ ройств. В любой реальной автоматической системе имеются нелиней­ ности типа зоны нечувствительности, люфта, зоны насыщения, гис­ терезиса, реле и другие нелинейности. Нелинейность характеристик дискретных систем обусловлена наличием элементов двух типов — импульсного элемента с широтно-импульсной или частотно-импульс­ ной модуляцией и счетчика (регистра) цифровой машины с ограничен­ ным числом разрядов.

Когда количество разрядов числа, поступающего на вход счет­ чика, больше максимального числа разрядов дискретного устройства, происходит его переполнение (насыщение).

При действии на такую систему с ограниченным числом разрядов счетчиков случайного входного сигнала, максимальное значение которого заранее предусмотреть невозможно, могут происходить переполнения дискретного элемента. Такое явление характеризуется нелинейной зависимостью типа ограничения. Кроме того, в дискрет­ ных системах имеются запоминающие элементы и элементы считы­ вания цифровых сигналов. При определенной программе работы циф­ ровой машины в зависимости от решаемой задачи в системе могут появиться нелинейности типа зоны нечувствительности, реле, гис­ терезиса и их комбинации.

Одна н та же нелинейность может выражать зависимость между входными и выходными сигналами для ряда типовых реальных не­ линейных элементов, основанных на различных физических прин­ ципах. Для некоторых нелинейных элементов выходная переменная может зависеть не только от значения входной переменной, но и от направления ее изменения, т. е. от производной входной перемен­ ной. В этом случае получается неоднозначная зависимость. Для ряда элементов выходная переменная зависит от совокупности входных неаддитивных переменных. При этом нелинейность является много­ мерной.

Обозначая характеристику любого безынерционного нелинейного элемента через ср, запишем зависимость между входной х и выходной у

переменными:
У = ф (*)■	(1-65)

В общем случае для многомерной нелинейности связь между вы­

ходной переменной у и входными переменными х ъ	. . ., хп имеет вид
У = ср {хи . . ., хп),	(1.66)

где ср — произвольная однозначная нелинейная функция. Неодно­ значную зависимость также можно представить формулой (1.66), если в число аргументов включить производную одной из переменных,

28

1.7. Линеаризация нелинейностей

Пользуясь нелинейной зависимостью (1.65), можно определить выходную переменную и ее характеристики, если входная перемен­ ная задана как функция времени. При этом во многих задачах изме­ нение входного сигнала х (/) нелинейности бывает настолько малым, что однозначные нелинейные функции в пределах изменения входного сигнала можно приближенно считать линейными.

При вероятностных исследованиях входной случайный сигнал представляют в виде

X( i ) = т х (t) + X°(t),

(1-67)

где тх (t) — математическое ожидание функции X (/); X й (t) — цен­ трированная случайная составляющая сигнала, имеющая равное нулю математическое ожидание. Если входной случайный сигнал X (t) мало отклоняется от математического ожидания тх (I), что можно оценить по величине дисперсии, то удобно осуществлять линеари­ зацию слабой однозначной дифференцируемой нелинейности относи­ тельно центрированного входного сигнала. Линеаризация нелиней­ ности при этом состоит в замене нелинейной характеристики при­ ближенной линеаризованной зависимостью, определяемой первыми членами разложения функции ср (X) в ряд Тейлора относительно цен­ трированной составляющей с центром разложения, равным матема­ тическому ожиданию входного сигнала:

Y = (р (тх) + ср' (тх) Х°.

(1.68)

Приближенная зависимость (1.68) линейна только относительно (t), она нелинейна относительно тх и равноценна замене кривой

касательной к ней в точке тх.

Если нелинейность (1.66) является многомерной однозначной и дифференцируемой по всем переменным, то при малости всех центри­ рованных составляющих линеаризованная зависимость имеет вид

П

Изложенный способ линеаризации неприменим к неоднознач­ ным функциям и к сильным нелинейностям, имеющим характеристики с угловыми точками и разрывами. Для линеаризации таких нели­ нейностей применяют статистическую линеаризацию.

Статистическая линеаризация нелинейностей состоит в прибли­ женной замене нелинейной характеристики эквивалентной в вероят­ ностном смысле линеаризованной функциональной зависимостью между случайными переменными [30, 32, 78].

Однозначную безынерционную нелинейность общего вида между случайными переменными Y и X

■Y = q>(X)

29