Функциональные свойства суммы сходящегося ряда

По функциональному ряду построим последовательность частичных сумм:

Определение. Предел последовательности частичных сумм называют суммой функционального ряда: . Если при каждом , функциональный ряд сходится, то .

Определение. Говорят, что сходящийся функциональный ряд равномерно сходится на отрезке к функции , если для найдется не зависящий от x номер такой, что при выполняется неравенство , .

Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам , где - члены сходящегося числового ряда , то ряд сходится на равномерно.

Теорема 2 (Непрерывность суммы функционального ряда). Пусть непрерывны на отрезке , и ряд сходится на равномерно. Тогда сумма этого ряда непрерывна на .

Теорема 3 (Почленный переход к пределу). Если выполнены условия теоремы 2, то для существует предел суммы функционального ряда , и он равен .

Теорема 4 (Почленное интегрирование). Пусть непрерывны, и пусть ряд сходится на равномерно. Тогда сумма ряда интегрируема, причем .

Теорема 5 (Почленное дифференцирование). Пусть непрерывно-дифференцируемы на отрезке , и на этом отрезке ряды и сходятся равномерно. Тогда сумма ряда имеет на непрерывную производную, при этом .

2.2.2. Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где - коэффициенты ряда (комплексные или вещественные), а - комплексная или вещественная переменная.

Заменой ряд преобразуется к виду

Такой ряд сходится, по крайней мере, в одной точке: .

Теорема 6 (Теорема Абеля). Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно при и сходится равномерно при , где - любое число из интервала . Если этот ряд расходится в точке , то он расходится при .

Область сходимости степенных рядов

Пусть М – множество всех , для которых ряд сходится.

Определение. Число (конечное или бесконечное) называют радиусом сходимости ряда.

Если , то для всех таких, что: - ряд абсолютно сходится, а если ряд расходится. Если , то ряд абсолютно сходится при всех .

Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по одной из формул: , или .

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. В данном случае коэффициенты степенного ряда: . Воспользуемся формулой

= . Отсюда следует, что данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. = Для определения радиуса сходимости удобно воспользоваться другой формулой: . Значит, ряд сходится только в точке и расходится при всех .

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. = .

Применим признак Даламбера к ряду из модулей членов функционального ряда .

; ;

.

Тогда, при ряд сходится, т.е. область сходимости: , , есть интервал - .

Если , имеем ряд . Этот ряд сходится как обобщеный гармонический при .

Если , получаем ряд . Этот ряд сходится, так как сходится ряд . Значит, исходный ряд сходится при .