- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
1.2. Функции комплексного переменного
Пусть - некоторое множество комплексных чисел (или множество точек комплексной плоскости). Пусть комплексное число может принимать любое значение из , тогда будем называть - комплексным переменным, а - областью его изменения.
Определение. Величина называется функцией независимого переменного , если каждому значению соответствует одно или несколько комплексных значений , при этом пишут: .
Запишем комплексные числа и в алгебраической форме:
, .
Тогда , и значит, задание функции комплексного переменного эквивалентно заданию двух действительных функций от двух действительных переменных.
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что как только ( ). Записывают: .
Несложно показать, что соотношение ,
где , а , эквивалентно двум действительным соотношениям: .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и .
Если , определенная на множестве , непрерывна в каждой точке этого множества, то говорят, что она непрерывна на множестве . Вновь легко показать, что условие непрерывности функции в точке эквивалентно двум соотношениям: . Таким образом, функция комплексного переменного непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части, рассматриваемые как функции действительных переменных и , непрерывны в той же точке.
Введем определения основных элементарных функций комплексного переменного.
Показательная функция .
Определение. Функция для комплексных значений z=x+iy определяется формулой: .
Следовательно,
Свойства функции :
Для любых и справедливо: .
Функция периодична с периодом : .
Функция непрерывна на всей комплексной области.
Для любого имеют место равенства:
Функция принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение разрешимо для любого комплексного .
Тригонометрические функции.
Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются формулами:
, .
Свойства тригонометрических функций:
функции непрерывны на всей комплексной плоскости,
функции принимают все значения, т.е. уравнения и имеют решения для любого комплексного числа .
при ; при .
все формулы элементарной тригонометрии, справедливые для всех действительных чисел, остаются справедливыми и при всех комплексных значениях z.
Например:
,
,
.
функции являются периодическими с периодом :
функция - нечетная функция, ; функция - четная функция, .
функция непрерывна при , функция непрерывна при .
Гиперболические функции
Гиперболические функции определяются равенствами: - гиперболический синус ( ),
- гиперболический косинус ( ),
- гиперболический тангенс,
- гиперболический котангенс.
Свойства гиперболических функций вытекают из свойств функций и ; все формулы, справедливые при действительных значениях x, остаются справедливыми и для комплексных значений z.
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция определяется как функция обратная к показательной.
Определение. Если , где , то называется логарифмом числа
z и обозначается
Перепишем равенство в виде , тогда получим, что и .
Следовательно, логарифмическая функция задается равенством:
,
Логарифмическая функция многозначна; ее ветвь, соответствующую главному значению аргумента , называют главным значением логарифмической функции и обозначают . Таким образом,
Свойства логарифмической функции:
.
Обратные тригонометрические функции
Определение. Если , то называется арксинусом числа z и обозначается
Разрешая уравнение относительно , получим:
.
Аналогично можно получить выражения для других обратных тригонометрических функций; все они выражаются через логарифмическую функцию:
, , .
Пример. Найти
Решение. , но , и поэтому .
Пример. Найти: а) , б)
Решение. а) Поскольку , а главное значение аргумента у числа -1 равно , то получим: = .
б) по формуле получаем
Пример. Найти
Решение. По определению функции получаем:
Пример. Записать в алгебраической форме
Решение. , тогда имеем