2.3.2. Сходимость ряда Фурье
Теорема
1 (Дирихле).
Пусть
-
периодическая
функция
на отрезке
удовлетворяет
двум условиям:
1) кусочно – непрерывна (т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода);
2) кусочно – монотонна (т.е. либо монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна).
Тогда ряд Фурье, соответствующий функции , сходится на этом отрезке и при этом:
-
в точках непрерывности функции сумма
ряда
совпадает
с самой функцией:
;
-
в каждой точке
разрыва функции сумма ряда равна:
,
т.е. равна среднему арифметическому
пределов функции
справа и слева;
-
в точках
и
(на концах отрезка) сумма ряда равна
.
Таким образом, если
-
периодическая функция
непрерывна на отрезке
,
то имеет место разложение :
.
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Если
функция
четная (т.е.
),
то все её коэффициенты
,
и ряд Фурье имеет вид
,
где
,
.
Если
функция
нечетная (т.е.
),
то все коэффициенты
,
и её ряд Фурье имеет вид
,
где
.
Определение. Эти ряды называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
Пусть
функция
определена на отрезке
и удовлетворяет на этом отрезке условиям
теоремы Дирихле. Введем новую переменную
по формуле
и рассмотрим функцию
.
Функция
определена на отрезке
и удовлетворяет теореме Дирихле. Ее ряд
Фурье имеет вид:
,
где
.
Вернемся к старой
переменной
.
Определение.
Ряд
с коэффициентами, вычисляемыми по формулам
,
,
называется рядом
Фурье для функции
с периодом
.
Замечание.
Если
на отрезке
четная, то ее ряд Фурье имеет вид:
,
где
,
;
Если
-
нечетная функция, то
,
где
,
.
Пример.
Разложить в ряд Фурье
-
периодическую функцию, заданную
на промежутке
следующим образом:
.
Решение. Построим график функции (Рис. 2).
Рис. 2
Данная
функция имеет конечное число разрывов
первого рода на промежутке
.
По теореме Дирихле ее можно разложить
в ряд Фурье
.
Вычислим коэффициенты Фурье:
;
.
Ко второму интегралу применим формулу интегрирования по частям:
.
Тогда
=
=
=
.
Коэффициенты
с четным индексом обращаются в нуль, а
с нечетным, когда
:
.
Определим
коэффициенты
:
.
Проведя
вычисления аналогичным образом, получим
.
Из всех коэффициентов
ненулевыми будут коэффициенты с четным
индексом
:
.
Поставим найденные коэффициенты в ряд
Фурье
.
По
теореме Дирихле составленный ряд Фурье
сходится к функции
,
которая совпадает с
во всех точках ее непрерывности. Поэтому
знак
можно
заменить знаком равенства:
,
В точках
разрыва функции
сумма ряда
.
В точках
разрыва
,
.
И так,
Пример.
Разложить в ряд Фурье
-
периодическую функцию, заданную
на промежутке
следующим образом:
.
Рис.
3
Функция непрерывна на всей оси и может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к ней при всех , т.е. для любого . Так как - четная и , то .
Вычислим коэффициенты:
;
=
,
т.е.
,
.