4. Математическая статистика

4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений

4.1.1. Статистическое распределение выборки

Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспе­риментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики.

Эти методы позволяют получать обоснованные выводы о параметрах или виде распределения случайных величин по совокупности наблюдений над ними – выборке.

Пусть проводится экспе­римент со случайной величиной , имеющей функцию распределения .

Определение. Выборкой объема из генеральной совокупности с функ­цией распределения называется последовательность наблюдае­мых значений случайной величины , соответствующих независи­мым повторениям эксперимента.

Замечание. Выборку объема можно определить как совокупность слу­чайно отобранных объектов из некоторого множества объектов – генераль­ной совокупности.

Пусть в результате эксперимента получены значения изучаемой случай­ной величины (среди них могут быть повторяющиеся значения).

Определение. Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, то есть записы­ваются в виде последовательности , где .

Пусть в выборке объема число встречается раз .

Определение. Числа называют вариантами. Число называют частотой варианты . Число называют относительной частотой варианты .

Определение. Размахом выборки называется разность между максимальной и минимальной вариантой выборки .

Определение. Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называется последовательность пар или .

Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит упорядоченные по величине варианты , а вторая – их частоты (или относительные частоты).

Пример. Записать вариационный ряд и статистическое распределение выборки 4,3,3,1,2,2,5,4,4,3,5,5,6,6,4. Определить размах выборки.

Решение. Объем выборки . Упорядочив варианты по величине, получим вариационный ряд 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,6. Размах выборки .

Статистическое распределение выборки

	1	2	3	4	5	6
	1	2	3	4	3	2

для контроля правильности записи находим: ;

или

	1	2	3	4	5	6
	1/15	2/15	3/15	4/15	1/15	2/15

для контроля записи находим: .

При большом объеме выборки ее элементы (варианты) объединяют в группы, представляя результаты опыта в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все варианты выборки, разбивается на частичных непересекающихся интервалов. Для упрощения вычислений частичные интервалы выбирают одинаковой длины . После того, как частичные интервалы выбраны, определяют частоты – количество вариант, попавших в -й интервал (варианта, совпадающая с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу). Получающийся статистический ряд в верхней строке содержит середины интервалов группировки, а в нижней – частоты .

В зависимости от объема выборки число интервалов группировки берется от 6 до 20. Следует помнить, что группировка вносит погрешность в дальнейшие вычисления, которая растет с уменьшением числа интервалов.

Для наглядности представления полученных статистических экспериментальных данных весьма целесообразно наряду со статистическим распределением выборки давать графическое представление.

Определение. Полигоном частот (относительных частот) группированной выборки называется ломаная с вершинами в точках (в точках ).

Определение. Гистограммой частот (относительных частот) группированной выборки называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на частичных интервалах группировки, высоты которых равны .

Отсюда следует, что площадь гистограммы равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот - единице.

Пример. Представить выборку 55 наблюдений в виде группированного статистического ряда, используя 7 интервалов группировки. Построить полигон и гистограмму частот группированной выборки.

Выборка

17	19	23	18	21	15	16	13	20	18	15
20	14	20	16	14	20	19	15	19	16	19
15	22	21	12	10	21	18	14	14	17	16
13	19	18	20	24	16	20	19	17	18	18
21	17	19	17	13	17	11	18	19	19	17

Решение. Размах выборки , количество интервалов – 7. Длина интервала .

Сформируем группированное статистическое распределение выборки

Номер интервала i	1	2	3	4	5	6	7
Границы интервала	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Середина интервала	11	13	15	17	19	21	23
Частота	2	4	8	12	16	10	3
Относительная частота	0,0364	0,0727	0,1455	0,2182	0,2909	0,1818	0,0545

Полигон группированных относительных частот изображен на Рис. 7.

0 .3 - .

0.2 -

.

1. -

11 15 19 23

Рис. 7.

Гистограмма группированных частот представлена на Рис. 8.

8 -

6 -

4 -

2 -

12 16 20 24

Рис. 8.