3.3. Системы случайных величин
3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
На
практике часто сталкиваемся с ситуацией,
когда результат опыта описывается
несколькими случайными величинами.
Например, при стрельбе по плоской мишени,
отклонение от центра задается двумя
случайными величинами: абсциссой и
ординатой точки
.
Свойства системы не исчерпываются
свойствами отдельных случайных величин,
есть еще взаимные связи (зависимости)
между случайными величинами. Для описания
системы удобно использовать геометрическую
интерпретацию:
случайный
вектор.
Закон распределения системы случайных величин – это соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений случайных величин и вероятностями появления случайного вектора в этих областях.
Определение.
Функцией
распределения случайного вектора
или функцией совместного распределения
случайных величин
называется функция двух действительных
переменных
,
определяемая соотношением:
.
Обозначим через:
-
функцию распределения системы
;
-
функцию распределения случайной величины
;
-
функцию распределения случайной величины
.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1.
.
2.
.
3.
.
4. Функция - неубывающая функция по каждому из аргументов.
5. Функция непрерывна слева по каждому из аргументов.
Свойство 2 обычно называют условием согласованности. Оно означает, что функции распределения отдельных случайных величин могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения этих величин.
Вероятность
попадания случайного вектора в
прямоугольник со сторонами, параллельными
координатным осям, т.е. вероятность
выполнения неравенств
,
может быть найдена с помощью функции
распределения системы:
.
Определение.
Случайный
вектор
называется вектором
дискретного типа,
если множество его значений, т.е. пар
,
конечное или счетное. Если перечислить
всевозможные пары значений случайного
вектора и сопоставить каждой паре
вероятность
,
причем
,
то получим закон
распределения
дискретного случайного вектора.
Законы
распределения случайных величин
и
выражаются через вероятности
следующим образом:
Определение.
Случайный
вектор
называется вектором
непрерывного типа,
если функция распределения
непрерывна на всей плоскости, и существует
такая неотрицательная, интегрируемая
функция
,
называемая плотностью
распределения системы,
что
.
Свойства плотности распределения системы непрерывных случайных величин:
1.
.
2.
(условие нормировки).
3.
Если
- точка непрерывности
,
то
.
4. Плотности распределения вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности:
.
5. Вероятность попадания случайного вектора в произвольную квадрируемую область В на плоскости определяется по формуле:
.
Условный закон распределения
Пусть
-
случайный вектор дискретного типа, а
- множество его возможных значений.
Определение.
Условным
законом распределения
случайной компоненты
при условии, что компонента
приняла определенное значение
,
называется совокупность возможных
значений компоненты
и соответствующих им условных вероятностей
,
которые определяются по формуле:
.
Аналогично определяется условный закон распределения случайной компоненты при условии, что компонента приняла определенное значение.
Пусть - непрерывный случайный вектор и - его плотность распределения.
Определение.
Условной
плотностью распределния вероятностей
случайной компоненты
при условии, что компонента
приняла определенное значение
,
называется неотрицательная функция
действительной переменной
,
определяемая формулой:
.
Аналогично,
.
Определение.
Компоненты
и
случайного вектора называются
независимыми,
если
для случайного вектора дискретного
типа и
для случайного вектора непрерывного
типа.