3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины

1. Биномиальное распределение

Определение. Случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможными значениями являются числа , а вероятности, с которыми она принимает эти значения, определяются формулами: , ( ).

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде таблицы:

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами и : , , .

2. Распределение Пуассона

Определение. Распределение случайной величины , возможными значениями которой являются числа , а вероятности этих значений задаются формулой: , называется распределением Пуассона, - параметр распределения.

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, если достаточно велико, а достаточно малое (в этом случае ).

Числовые характеристики этого распределения: .

3. Геометрическое распределение

Определение. Геометрическим распределением называется распределение дискретной случайной величины , возможные значения которой 1,2,3,… , а вероятности этих значений определяются формулой: , .

Для такой случайной величины , .

4. Гипергеометрическое распределение

Определение. Распределение дискретной случайной величины, возможные значения которой , а вероятность того, что эта величина примет значение к, определяется формулой ( ), называется гипергеометрическим.

Числовые характеристики этой случайной величины определяются следующим образом: .

Непрерывные случайные величины

5. Равномерное распределение

Определение. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если плотность распределения вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна нулю вне его: .

Для случайной величины , равномерно распределенной на отрезке , вероятность попадания в интервал , пропорциональна длине этого интервала: .

Функция распределения этой величины имеет вид:

.

Числовые характеристики случайной величины , .

6. Показательное распределение

Определение. Распределение непрерывной случайной величины называется показательным, если его плотность распределения имеет вид: , - параметр распределения.

Функция распределения этой случайной величины: , числовые характеристики: .

7. Нормальное распределение

Определение. Нормальным распределением (или распределением Гаусса) называется распределение случайной величины, плотность которого равна: .

Параметры и нормально распределенной случайной величины имеют следующий смысл: , .

Функция распределения этой случайной величины есть: , где - функция Лапласа: .

Функция Лапласа является нечетной, ее значения приведены в специальных таблицах.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал определяется формулой

.

Вероятность выполнения неравенства , т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не больше, чем на величину , для нормально распределенной случайной величины есть: .

Пример. Найти вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины , для которой математическое ожидание , среднее квадратическое отклонение .

Решение. Применим формулу: ; в данном случае она примет вид: .

Функция Лапласа является нечетной, поэтому

.

Значения найдены по таблице значений функции Лапласа (приложение 1).