- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
Определение. Точка с координатами называется математическим ожиданием случайного вектора или центром рассеивания.
Определение. Ковариацией двух случайных величин называется математическое ожидание произведения их отклонений от соответствующих математических ожиданий: .
Для ковариации верны соотношения:
1. ;
2. .
Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю: . Если , то случайные величины зависимы.
Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: . (Коэффициент корреляции есть нормированная ковариация).
Определение. Случайные величины , для которых , называются некоррелированными.
Коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости между и .
Свойства коэффициента корреляции:
1) ;
2) если величины независимы, то ;
3) если , то .
Таким образом, из независимости случайных величин вытекает их некоррелируемость, обратное неверно.
Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что приняла одно из своих возможных значений, называется действительное число, обозначаемое и определяемое формулами:
- для дискретных величин;
- для непрерывных величин.
Определение. Для двух случайных величин регрессией на называется условное математическое ожидание случайной величины , выраженное как функция от : . График этой функции называется кривой регрессии.
Функция регрессии может использоваться для предсказания значения случайной величины по фиксированному значению случайной величины .
Если , то говорят о линейной регрессии на , графиком линейной регрессии является прямая.
3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
В теории вероятностей доказаны две группы предельных теорем. Одна из них носит название «закон больших чисел», другая – «центральная предельная теорема».
Физическое содержание закона больших чисел, понимаемого в широком смысле слова, заключается в том, что при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью точности. В узком смысле слова, это группа математических теорем, в каждой из которых, для тех или иных условий, устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.
Теорема 7 (Неравенство Чебышева, используемое для доказательства «закона больших чисел»). Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем , то есть
.
Подчеркнем, что эта оценка справедлива для любого закона распределения случайной величины.
Теорема 8 (Теорема Чебышева, одна из форм «закона больших чисел»). Если случайные величины попарно независимы, имеют конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа ), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. для любого числа выполняется неравенство , откуда
.
Замечание. Если в условиях теоремы 8, все случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание : , то .
Пусть рассматривается последовательность независимых испытаний, в каждом из которых с некоторой постоянной вероятностью наступает событие (схема Бернулли).
Теорема 9. (Теорема Бернулли, одна из форм «закона больших чисел»). Если - число наступлений события в независимых испытаниях и - вероятность наступления события в каждом из испытаний, то при любом : .
«Центральная предельная теорема» это группа математических теорем, устанавливающих тот факт, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин, закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону распределения. Условия этих теорем по существу сводятся к требованию, чтобы вклад в дисперсию всей суммы от отдельных слагаемых был равномерно малым, то есть, чтобы в состав суммы не входили члены, дисперсия которых сравнима с дисперсией всей суммы.
Теорема 10. (Теорема Ляпунова, одна из форм «центральной предельной теоремы»).
Если - независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием и дисперсией , то для любого действительного , функция распределения стандартизированного среднего арифметического случайных величин сходится к функции Лапласа:
, где .
Иначе, можно сказать, что, при неограниченном возрастании закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному закону распределения.
Как следствия «центральной предельной теоремы», на практике широко используются, так называемые локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Теорема 11 (Локальная теорема Лапласа). Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной ( ), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие наступит ровно раз, приближенно выражается формулой: , а .
Подставляя, получаем: .
Теорема 12 (Интегральная теорема Лапласа). Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной ( ), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие наступит не менее раз и не более раз, приближенно выражается формулой
;
, , где - функция Лапласа.
Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 и не более 80 раз.
Решение. Условие задачи вписывается в схему Бернулли, имеем , поэтому . Воспользуемся теоремой 12, предварительно вычислив по формулам: , .
.
В заключение этого раздела отметим, что «закон больших чисел» и «центральная предельная теорема» лежат в основе математической статистики, поскольку позволяют высказывать статистические прогнозы и оценивать точность этих прогнозов.