- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
Примеры вероятностных пространств
Конечное вероятностное пространство
Рассмотрим вероятностное пространство , пусть - конечное множество, состоящее из элементарных исходов: . В этом случае, алгебра событий совпадает с системой всех подмножеств . Припишем каждому элементарному исходу его вероятность так, чтобы .
Пусть событие , где (такие исходы называют благоприятствующими событию A).
Тогда вероятность события A равна: .
Функция , заданная этим соотношением, удовлетворяет всем аксиомам вероятности.
Такое вероятностное пространство называют конечным.
Пусть все элементарные исходы равновероятны: . Тогда из условия , получим: . Отсюда т.е. .
Для события имеем: .
Определение. Вероятность события A, определяемая формулой , где - число всех равновероятных элементарных исходов опыта, - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A, называется классической вероятностью события.
Пример. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?
Решение. Эксперимент состоит в случайном выборе из закрытой урны одного шара. Элементарным исходом опыта является номер шара и его цвет. Поскольку все исходы равновероятны, можно использовать классическое определение вероятности. Общее число элементарных исходов (количество шаров в урне). Событию А={извлекли черный шар} благоприятствуют исходов (количество черных шаров). Получаем, что .
При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, часто используются известные формулы комбинаторики. Каждая из комбинаторных формул определяет общее число исходов в некоторой урновой схеме, т.е. в эксперименте по выбору наудачу элементов из множества, содержащего элементов (выбор шаров из урны). При этом строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками. Существуют две принципиально отличные схемы выбора: в первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов (это означает, что выбираются сразу все элементов, либо последовательно по одному, причем каждый отобранный элемент исключается из исходного множества); во второй схеме выбор осуществляется поэлементно, с обязательным возвращением отобранного элемента в исходное множество перед выбором следующего элемента. После того, как выбор сделан, отобранные элементы (или их номера) могут быть упорядочены.
А) Схема выбора, приводящая к сочетаниям.
Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов без возвращения и без упорядочивания, то элементарным исходом является подмножество, называемое сочетанием из п элементов по т. Различные сочетания отличаются только составом выбранных элементов. Общее количество таких исходов обозначается и равно .
Пример. В урне 10 шаров: 6 белых, 4 черных. Вынули 2 шара. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. Эксперимент состоит в выборе двух шаров из десяти, причем выбор осуществляется без возвращения. В каком порядке извлечены шары по условию задачи не важно. Элементарными исходами являются сочетания из 10 элементов по 2. Число всех исходов .
Событию А={оба шара белые} благоприятствуют исходы, когда два шара выбираются из шести белых шаров. Число таких исходов определяется равенством . Используя формулу классической вероятности, получаем, что .
Б) Схема выбора, приводящая к размещениям.
Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов без возвращения, но с упорядочиванием их в последовательную цепочку, то элементарным исходом является подмножество, называемое размещением из п элементов по т. Различные размещения отличаются не только составом элементов, но и порядком их расположения. Общее количество таких исходов обозначается и равно .
В частном случае , опыт фактически состоит в упорядочивании элементов исходного множества, т.е. сводится к случайной перестановке его элементов. Тогда элементарными исходами являются перестановки из п элементов. Общее количество таких исходов равно .
Пример. На карточках написаны первые 10 букв русского алфавита. Опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв и записи слова в порядке поступления букв. Какова вероятность того, что случайно составленное слово будет заканчиваться буквой а?
Решение. Поскольку опыт состоит в выборе без возвращения 4 букв из 10 имеющихся, то элементарными исходами будут 4-элементные подмножества. Порядок расположения букв в таком подмножестве важен (если переставить буквы, получится другое слово). Поэтому получаем размещения из 10 элементов по 4, их общее количество .
Пусть событие А={слово заканчивается буквой «а»}. Построим элементарные исходы, благоприятствующие этому событию. Четвертая выбранная буква обязательно должна быть «а», три первые буквы выбираются из оставшихся 9 букв без возвращения и с упорядочиванием. Количество таких элементарных исходов .
Тогда по формуле классической вероятности .
В) Схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями.
Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов с возвращением, но без последующего упорядочивания, то элементарным исходом является подмножество, среди элементов которого могут быть одинаковые, называемое сочетанием с повторениями. Их общее число определяется формулой : .
Пример. В технической библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т.д., всего по 16 разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий: А={заказаны книги из различных разделов науки}; В={заказаны книги из одного раздела}.
Решение. Эксперимент состоит в выборе 4 книг из библиотеки. Так как каждая книга содержится в одном из 16 разделов, то фактически выбор книги означает выбор раздела, причем выбранные разделы могут повторяться. Порядок выбора книг роли не играет. Таким образом, элементарными исходами являются 4-х элементные подмножества, в которых элементы могут повторяться в произвольном порядке – сочетания с повторениями. Общее количество таких исходов: .
Число исходов, благоприятствующих событию А, равно числу способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16: .
Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу способов выбрать один элемент из 16: .
Таким образом, получаем .
Г) Схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями.
Если опыт состоит в выборе элементов из множества, содержащего элементов с возвращением и с упорядочиванием, то элементарным исходом является подмножество, называемое размещением с повторениями. Среди его элементов могут быть повторяющиеся. Общее число таких исходов определяется формулой: .
Пример. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что все номера состоят из 7 цифр, причем все комбинации равновероятны, найти вероятность того, что в номере все цифры различны.
Решение. Опыт состоит в случайном выборе номера. Так как каждый номер содержит цифры от 0 до 9, причем всего цифр семь, то фактически эксперимент представляет собой выбор семи цифр из десяти имеющихся и расположение этих цифр в определенном порядке, причем цифры в номере могут повторяться. Элементарными исходами являются размещения с повторениями. Общее число таких исходов: . Рассмотрим событие А={все цифры номера различны}. Чтобы построить элементарный исход, благоприятствующий событию А, надо выбрать 7 цифр из 10 без возвращения и расположить их в определенном порядке. Число таких исходов: . Имеем: .