- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
2. Непрерывное вероятностное пространство
Пусть в вероятностной модели пространство элементарных исходов - бесконечное непрерывное множество, для которого определена мера. Роль меры множества играют: длина для линейных множеств, площадь для плоских множеств, объем для пространственных множеств. Будем обозначать меру множества А – mes(A).
Пусть на множестве определена функция , , удовлетворяющая условию .
Если А - некоторое событие, связанное с этой моделью, т.е. , тогда вероятность этого события определяется по формуле: . Эта числовая функция удовлетворяет всем аксиомам вероятности.
В частном случае, когда , из условия: , получим, что . Тогда для вероятности случайного события имеем: .
Определение. Вероятность события A, определяемая формулой: называется геометрической вероятностью.
Пример. Эксперимент состоит в радиолокационном наблюдении воздушной цели. Наблюдаемый результат – положение светящегося пятна на экране индикатора цели, имеющего форму круга, радиуса 10 см. Найти вероятность следующих событий: A={цель находится в первом квадранте} B={цель находится в круге радиуса 5 см с центром в центре экрана}.
Решение. Все события связаны с регистрацией положения светящегося пятна на экране. Элементарным исходом являются координаты точки на плоскости в декартовой системе координат, связанной с центром экрана. Таким образом, пространство элементарных исходов бесконечно, непрерывно и может быть записано в виде: . Мера этого множества – его площадь: . Подмножества, соответствующие указанным событиям:
, .
По формуле геометрической вероятности имеем: , .
3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимость событий
Определение. Вероятность события при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события и обозначается: или .
Условные вероятности определяются формулами:
, , где , .
Определение. События А и В называются независимыми, если условная вероятность события А, при условии, что событие В произошло, равна безусловной вероятности этого события: . Аналогично, .
Теорема 1 (Теорема умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного их них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
.
Следствие. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: .
Это утверждение иногда принимают за определение независимых событий.
Теорема 2. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного их них на условные вероятности всех остальных в предположении, что все предыдущие события наступили:
.
В частности, для трех событий эта формула имеет вид .
Определение. События называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если каждое из них и произведение любого числа остальных являются независимыми.
Замечание. Из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.
Если события независимы в совокупности, то
.
Теорема 3. Если событие состоит в появлении хотя бы одного из независимых событий , то , где ; ( - событие, противоположное событию ).
Если все независимые события имеют одну и ту же вероятность , то вероятность появления хотя бы одного из них определяется формулой: .
Пример. В урне имеется 6 красных, 8 синих, 4 белых шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны берут наудачу один шар и не возвращают обратно. Найти вероятность того, что в первом испытании будет извлечен красный шар, при втором – синий, при третьем – белый.
Решение. Эксперимент состоит в последовательном извлечении без возвращения трех шаров из 18. Рассмотрим события:
событие - {извлекли красный шар};
событие - {извлекли синий шар};
событие - {извлекли белый шар}.
Нас интересует событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий, т.е. произведение АВС. По теореме умножения вероятностей для трех событий: , надо найти следующие вероятности:
(вероятность вытащить красный шар), (вероятность вытащить синий шар, при условии, что один красный шар уже изъят), (вероятность извлечь белый шар, при условии, что уже извлекли и красный шар, и синий). Тогда окончательно получаем: .
Пример. В каждом из трех ящиков имеется по 24 детали; при этом в первом ящике 18, во втором 20, в третьем 22 стандартные детали. Из каждого ящика берут по одной детали. Найти вероятность того, что все три извлеченные детали будут стандартными.
Решение. Эксперимент состоит в извлечении трех любых деталей из разных ящиков. Рассмотрим следующие события:
событие - { из первого ящика извлекли стандартную деталь },
событие - { из второго ящика извлекли стандартную деталь },
событие - { из третьего ящика извлекли стандартную деталь }.
Нас интересует событие, состоящее в том, что рассмотренные 3 события произошли одновременно, т.е. произведение 3 событий: А1 А2 А3. Все эти события независимы в совокупности, т.к. извлечение из одного ящика стандартной детали никак не влияет на то, какая деталь будет извлечена из другого ящика. Поэтому, используем следующую формулу умножения вероятностей: . Вероятности указанных событий:
, , . Окончательно получаем .
Пример. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0.9; вторым – 0.8; третьим – 0.7. Найти вероятность того, что а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
Решение. Эксперимент состоит в проведении 3 выстрелов тремя стрелками. Рассмотрим следующие события:
- { первый стрелок поразил цель },
- {второй стрелок поразил цель },
- {третий стрелок поразил цель }.
Так как каждый стреляет независимо от другого, эти события независимы в совокупности.
Пусть , , тогда , , . Введем в рассмотрение вспомагательные события:
- { в цель попал только первый стрелок},
- { в цель попал только второй стрелок},
- { в цель попал только третьим стрелок}.
Опишем эти события через А1, А2, А3. Имеем: (первый попал, а второй и третий не попали), , .
Пусть А – {в цель попал только один стрелок}, тогда А=В1+В2+В3 (попал только первый или только второй, или только третий). События , , несовместны, т.к. не могут произойти одновременно. Тогда . Так как , , ,
то .
Пусть - { в цель попали только второй и третий стрелки};
- { в цель попали только первый и третий стрелки};
- { в цель попали только первый и второй стрелки}.
Тогда , , , причем эти события несовместны. Если В - {в цель попали только два стрелка}, то и
.
Пусть С - {в цель попали все три стрелка}, тогда и .
По условию задачи , , . Следовательно, , , . Подставляя эти значения в полученные формулы, окончательно получаем:
; ; .