- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Определение. Говорят, что события образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, т.е. и .
Пусть событие А может произойти одновременно с одним из несовместных событий , образующих полную группу. Эти события принято называть гипотезами.
Теорема 4 (Теорема полной вероятности). Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одной из гипотез , равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
.
Формула - называется формулой полной вероятности.
Вероятность гипотезы до проведения эксперимента называют априорной. Если известен результат эксперимента, то можно переоценить вероятность гипотезы
Теорема 5 (Теорема Байеса). Вероятность гипотезы после того, как известно, что в результате опыта события А произошло, дается формулой: .
Эту формулу называют формулой Байеса.
Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0.8, а второго – 0.9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
Решение. Рассмотрим следующие события:
А - {извлекли стандартную деталь},
- {деталь извлечена из первого набора},
- { деталь извлечена из второго набора}.
События В1 и В2 независимы и исчерпывают все возможные исходы эксперимента, т.е. . Поскольку выбирается любой из двух наборов, то эти события равновероятны, т.е. и .
Вероятность того, что стандартная деталь будет извлечена из первого набора: .
Вероятность того, что стандартная деталь будет извлечена из второго набора: .
Искомая вероятность события А, т.е. того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна:
.
Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру, равна 0.6, а ко второму – 0.4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0.94, а вторым – 0.98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Рассмотрим следующие события:
событие А – { деталь признана стандартной},
событие - {деталь проверил первый контролер},
событие - {деталь проверил второй контролер}.
Требуется найти вероятность того, что произошло событие при условии, что деталь признана стандартной. Будем использовать формулу Байеса: .
По условию задачи имеем:
{вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру};
{вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру};
{вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной};
{вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной}.
Искомая вероятность
3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
Пусть производится серия из независимых опытов, в каждом из которых может произойти некоторое событие . Вероятность того, что это событие произойдет в одном опыте, равна p и называется вероятностью успеха. Вероятность того, что не произойдет в данном опыте, равна . Будем считать, что вероятность успеха не изменяется от опыта к опыту, не зависит от исходов предыдущих опытов и не влияет на исходы последующих опытов.
Теорема 6. Вероятность того, что в серии из независимых испытаний событие появится ровно раз (и не появится раз), равна
,
где , - вероятность появления события в каждом испытании, - вероятность события ( ).
Эту формулу называют формулой Бернулли.
Пример. Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна . Спортсмен сделал 5 выстрелов. Найти вероятность событий: А – {спортсмен попал ровно 2 раза}, B – {спортсмен попал не меньше 4 раз}.
Решение. Производится серия из 5 выстрелов. При каждом выстреле спортсмен попадает с вероятностью и «мажет» с вероятностью . Используя формулу Бернулли, находим вероятность события А: .
Событие В есть сумма несовместных событий: {произошло равно 4 попадания} или {произошло равно 5 попаданий}. Поэтому получаем:
.